Limites

Jabir · May 2006

Bonjour ,

Dans un cours de topologie d' {\bf un espace métrique} , l'auteur définit la limite d'une fonction avec ces hypothèses:

$(E,d)$ et $(E',d')$ sont deux espaces métriques et $f$ une application de

$D \subset E \longrightarrow E'$. Puis il considère $ A \subset D$ et
$a \in Adh(A)$ (puis $l \in E'$) avant de définir la limite.

Je voudrais savoir pourquoi serait-il nécessaire d'introduire $A$ ici? Ne peut-on pas définir la limite de $f$ en $a$ sur $D$ directement , avec
$a \in Adh(D)$?

Mon deuxième problème est $\Q$. On peut exhiber une suite de rationnels tendant vers un irrationnel , ce qui montre bien que $\Q$ est ouvert? Pourquoi alors aurait-on $Int(\Q) =\emptyset$?

Merci pour vos réponses.

Jabir.

Sasha1 · May 2006

Montrer qu'une suite de Q converge vers un element qui n'est pas dans Q montre simplelement qu'il n'est pas fermé ! Q n'est pas un ouvert

la_bas_si_j_y_suis · May 2006

Pour ton deuxieme problème , tu montres que $\Q$ n'est pas un fermé (de $\R$ je suppose muni de la distance usuelle).
Tu ne montres en aucun cas que $\Q$ est ouvert, car un ensemble n'est pas soit ouvert soit fermé, par exemple $[0,1[$ dans $\R$

Jabir · May 2006

Merci.

Et $A$ , à quoi sert-il ici?

Jabir.

Nouveau_ici · May 2006

Si $\Q$ était ouvert alors on aurait $Int\Q = \Q $ ce qui n'est pas le cas. $\Q$ n'&quotest ni ouvert, ni fermé.

Jabir · May 2006

Merci , c'est bien gentil , mais cela ne m'aide pas de lire trois réponses identiques

De plus c'est bien parce que $Int(\Q)$ est vide que cela me posait problème de penser qu'il est ouvert.

Revenons en au problème précédent (par pitié laissez tomber $\Q$ , j'ai compris...)

Jabir.

Jabir · May 2006

............ UP.............

fb0 · May 2006

Par exemple si tu considères une application $f$ de $\R$ dans $\R$ (ainsi $D=E=\R$), tu veux pouvoir définir la notion de limite à gauche et à droite, ce qui nécessite d'introduire $A$. Par exemple $A = [0,+\infty[$ pour la limite à droite en $0$. Notation classique

\begin{equation*}
\lim_{\substack{x \rightarrow a\\ x \in A}} f(x)
\end{equation*}
En revanche, selon moi il n'est pas nécessaire d'introduire $D \subset E$, autant considérer une fonction définie sur $E$ tout entier, quitte à changer $E$.

Jabir · May 2006

Ok , je suis d'accord fb !! Merci!

Effectivement je pensais qu'il était plus simple de considérer une fonction :

$f : D \longrightarrow F$ ( $D$ étant naturellement muni de la topologie induite, donc çà ne pose pas de problème) et introduire $A$ effcetivement pour définir précisément la limite selon $A$ (à droite ou à gauche pour $\R$).

Jabir.

Jabir · May 2006

Je crois que je raconte n'importe quoi.... Veuillez excuser cette suite de débilités en châine.

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