Uniforme convergence

70ans_pour_le_front_populaire! · May 2006

Bonjour je suis en train de considérer un problème qui m'amène à me poser la question suivante:
"soit $(f_n)_{n \in \N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$ de classe $C_1$, si $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformément vers une fonction $f$ sur $\R$ alors $f$ est-elle de classe $C_1$?"
Merci d'avance à tout ceux qui voudront bien répondre (et aussi à ceux qui prendront le temps de lire mon post :-) )

corentin0 · May 2006

La réponse est non, il n'est pas très difficile de trouver un contre-exemple.
(par exemple, $\sqrt{x+\frac{1}{n}}$)

SadYear · May 2006

Non.

Contre-exemple : prend f une fonction continue affine par morceaux, non affine sur R (pour s'assurer que la ligne brisée est bien brisée : f est C0 mais pas C1). Alors tu peux imaginer des fonctions fn C1 (ou même Cinf) qui convergent vers f uniformément alors que f n'est pas C1. Graphiquement : les graphes des fn sont contenus dans des petits tubes (de diamètre 1/n par exemple autour) du graphe de f.

Mmm. A la relecture c'est pas très clair. Si qqun se sent le courage de poster un contre-exemple avec des expressions explicites, qu'il ne se gêne pas. ^_^

70ans_pour_le_front_populaire! · May 2006

merci pour ces éclaircissements

MxM · May 2006

par contre si votre suite $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ et que la suite des derivées converge uniformement sur tout segment vers une certaine fonction $g$ alors on peut dire que $f$ est $C1$ , que $f'=g$ et que la suite $( f_n )$ converge egalement uniformement sur tout segment.