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coincoin3
coincoin3
dans Analyse
Salut,

Comment montrer que :

Soit $(a_n)$ une suite complexe. On suppose que pour toute suite complexe $(u_n)$ telle que $u_n \longrightarrow 0$ et $\sum a_nu_n$ converge. Alors
$\sum |a_n| < \infty$ ???


Merci beaucoup d'avance.

Réponses

  • bs1
    bs1
    relis ton énoncé
  • coincoin3
    coincoin3
    pourquoi ?
  • NC1
    NC1
    salut,

    une tentative:

    par contraposition, on suppose
    $a_n\ge 0$ et que $\sum a_n\to +\infty$, il existe $k_1,k_2,\ldots$ tels que
    $a_0+\cdots+a_{k_1}\ge 1$, $a_{k_1+1}+\cdots+a_{k_2}\ge 2$, etc, puis on pose
    $u_k=\frac11$ si $k$ est dans le premier paquet, $u_k=\frac12$ si $k$ est dans le deuxième paquet, etc, par définition $(u_k)$ tend vers $0$ mais $\sum a_ku_k\ge
    \frac11+\frac12+\cdots$ diverge.
  • oumpapah2
    oumpapah2
    Bonsoir

    rappel d'un exo classique:

    si an>=0 avec divergence de la serie de terme général an alors la serie de terme général an/Sn diverge
    ( Sn = a0+a1+..+an)

    d'ou ..

    Oump.
  • coincoin3
    coincoin3
    Merci pour ta réponse nc je prends.
  • MxM
    MxM
    On sent le prof de prépa Oumpapah :) il est aussi très interessant pour pousser un peu d 'étudier la série de terme général: $a_n/S_n^\alpha$ en fonctions des valeurs du réél $\alpha$
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