Soit $(a_n)$ une suite complexe. On suppose que pour toute suite complexe $(u_n)$ telle que $u_n \longrightarrow 0$ et $\sum a_nu_n$ converge. Alors
$\sum |a_n| < \infty$ ???
par contraposition, on suppose
$a_n\ge 0$ et que $\sum a_n\to +\infty$, il existe $k_1,k_2,\ldots$ tels que
$a_0+\cdots+a_{k_1}\ge 1$, $a_{k_1+1}+\cdots+a_{k_2}\ge 2$, etc, puis on pose
$u_k=\frac11$ si $k$ est dans le premier paquet, $u_k=\frac12$ si $k$ est dans le deuxième paquet, etc, par définition $(u_k)$ tend vers $0$ mais $\sum a_ku_k\ge
\frac11+\frac12+\cdots$ diverge.
On sent le prof de prépa Oumpapah il est aussi très interessant pour pousser un peu d 'étudier la série de terme général: $a_n/S_n^\alpha$ en fonctions des valeurs du réél $\alpha$
Réponses
une tentative:
par contraposition, on suppose
$a_n\ge 0$ et que $\sum a_n\to +\infty$, il existe $k_1,k_2,\ldots$ tels que
$a_0+\cdots+a_{k_1}\ge 1$, $a_{k_1+1}+\cdots+a_{k_2}\ge 2$, etc, puis on pose
$u_k=\frac11$ si $k$ est dans le premier paquet, $u_k=\frac12$ si $k$ est dans le deuxième paquet, etc, par définition $(u_k)$ tend vers $0$ mais $\sum a_ku_k\ge
\frac11+\frac12+\cdots$ diverge.
rappel d'un exo classique:
si an>=0 avec divergence de la serie de terme général an alors la serie de terme général an/Sn diverge
( Sn = a0+a1+..+an)
d'ou ..
Oump.