diffeomorphisme

dark vador0 · May 2006

hello
pour que f soit un diffeomorphisme
faut il f injective et df inversible?df inversible?
ne suffit pas?
exp est un diffeo d'un voisinage de 0 de Mn(R) sur un voisinage de Id dans Gln(R)
car df exp(0) =Id?
mais pas globale
ccar exp(0)=id
et expM=id avec M unez matrice de sumilitude?
pasclaire?
auriez vous des precisions?
a+
merci

Euh... · May 2006

Bon, c'est pas très clair.

Oui, difféo ça implique f injective et df inversible. Difféo ça veut dire inversible, différentiable, d'inverse différentiable. En différentiant la relation f o f^(-1), on obtient df inversible.

La seule condition df inversible est plus faible. On appelle ça être « étale ». Le théorème d'inversion locale dit qu'être étale implique le fait d'être un difféo local.

exp est donc un difféo local au voisinage de zéro, pour la raison que tu mentionnes (d_0 f = id). Elle n'est pas un difféo car elle n'est déjà pas injective, puisque, par exemple, dans M(2,R), la matrice correspondant au nombre complexe 2i pi a pour image 0 (je ne comprends pas ton passage à M de similitude). exp : M(2,R) -> GL(2,R) n'est d'ailleurs pas surjective non plus.

Je n'ai pas d'autre précision, mais une suggestion. Par respect pour les lecteurs, un style d'expression moins baroque serait vivement apprécié.

Fadalbalapoumbala · May 2006

Je pense que Dark Vador caract\'erise la plut\^ot les plongements, pas les diff\'eomorphismes. Pour les diff\'eomorphismes $\mathbb{C}^{\infty}$, $df$ inversible en tout point combin\'e \`a la bijectivit\'e doit suffire, par la th\'eor\`eme d'iinversion locale.

Remarque: la condition $df$ injective toute seule ne suffit \'evidemment pas \`a caract\'eriser les plongements, en t\'emoigne l'exemple de la cubique rationnelle, singuli\`ere en un point.

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