exponentielle de matrice

corentin0 · May 2006

Bonsoir;
J'accroche sur cette égalité:
on considère $A:\R^d\longrightarrow \mathcal{M}_n(\R)$ telle que $\forall\,t\geq 0,\ \xi\in\R^d:\ \|e^{tA(\xi)}\|\leq C$, alors pour tout complexe $z$ de partie réelle strictement positive et tout $\xi\in\R^d$, $\displaystyle (A-zI_n)\int_0^{\infty}e^{-zt}e^{At}dt=-I_n$.
L'auteur dit que puisque l'intégrale a un sens l'égalité est immédiate. Bon, peut être. Pourquoi? (formellement, je peux y croire)

coincoin3 · May 2006

Salut,

Tu as vu cette formule ou ???
Ca existe des intégrales de matrice qui donnent des matrices ???

Yvarentréengare · May 2006

Bonjour Corentin,

Commencez par $A$ constant, et montrez que l'hypothèse est équivalente à ce que les valeurs propes de $A$ soient dans le demi plan $Re(z)>0$. Ensuite cela découle de ce que l'on appelle le calcul fonctionnel élémentaire. Plus précisément,

$$ \Psi ^{-1}=\int_0^{\infty} e^{-t\Psi} dt $$

Pilz · May 2006

Oui Coincoin, cela existe c'est comme si tu intègrais les coefficients termes à termes.

Ce genre de formule me fait penser à la preuve de Lafontaine pour le caractère $C^{\infty}$ de l' exponentielle de matrice

jean Lismonde0 · May 2006

bonjour

l'intégrale porte sur la variable réelle t

exp(At) = [exp(A)]^t et donc exp(-tzI-tA) est une exponentielle d'une matrice carrée parfaitement explicitable en fonction de A et des valeurs propres de A;

par exemple si r1 et r2 sont valeurs propres de A matrice 2x2 alors

exp(A)=I.[r1.exp(r2) - r2.exp(r1)]/(r1-r2) + A.[exp(r1) - exp(r2)]/(r1-r2)

en posant u.I=t(zI - A) (variables d'intégration réelles dont les coefficients sont des matrices carrées)
on trouve l'intégrale égale à (zI - A)^(-1)

et donc le premier membre de l'identité est bien égale à (A - zI).(zI - A)^(-1) soit -I

cordialement