C*-algèbre

marco · June 2006

Bonjour

Soit A une C*-algèbre, $e$ une projection et $a$ et $b$, auto-adjoints positifs de normes $\leq 1$ tels que $(a+b)/2=e$. Auriez-vous une démonstration de la proposition $a \in eAe$ ?
Je lis un livre sur les C*-algèbres et l'auteur veut démontrer que les points extrémaux de l'ensemble des autoadjoints positifs de normes inférieures ou égalés à 1 sont toutes les projections.
Merci d'avance pour vos réponses.

marco

igrec27 · February 2020

Quelqu'un saurait-il de quel livre parlait Marco (il y a 14 ans...)?

marco · February 2020

Bonjour

Je crois que c'était "C*-Algebras and W*-Algebras" de Shôichirô Sakai.

igrec27 · February 2020

Comme la question de Marco était restée sans réponse, j'ai fait des recherches sur le sujet
projecterus et poinrs extremes dans les c* algebres.
j'ai trouvé un théoreme dans le livre de Peterson (notes on von neumann algebras)

Les points extremes de parties positives des opérateurs de A sont les projecteurs de A.

j'en comprends la premiere partie de la preuve.
je la laisse en englais de peur de mauvaise traductio
if $x \in $ ( $A_+$) then we have $x^2 \ge 0$ , $2x - x^2 \ge 0$ and $x = (x^2 + 2x - x^2)/2 $
if x is an extreme point we have $ x = x^2 = 2x - x^2$ so x is a projector.

ce qui me pose probleme c'est la réciproque.
Dans un premier temps il considere le cas ou A est abélien.

so we may assume that A = $C_0(K)$ for some locally compact Hausdorff space K. If x is a projector then x = $1_E$ is the characteristic function on some open and closed set $E \subset K$
hence the result follows easily from the fact that 0 and 1 are extreme points of [0, 1].

Pourriez vous m'expliquer pas a pas les détails de cette partie annoncée comme facile?

il a défini l'ensemble
$C_0 (K)$ of complex valued continuous functions which vanish at infinity

JLT · February 2020

On prend $A=C_0(K)$. Soit $B$ la boule unité de $A_+$, alors $B$ s'identifie à l'ensemble des fonctions continues de $K$ dans $[0,1]$. Si $x$ est un projecteur, alors $x$ s'identifie à une fonction continue de $K$ dans $\{0,1\}$.

On veut montrer que si $x=\frac{a+b}{2}$ avec $a,b\in B$ alors $x=a=b$.

Pour tout $t\in K$, si $x(t)=0$ alors $a(t)+b(t)=0$ avec $a(t)\geqslant 0$ et $b(t)\geqslant 0$ donc $a(t)=b(t)=0$. De même si $x(t)=1$ alors $a(t)=b(t)=1$. On a bien montré $x=a=b$.

igrec27 · February 2020

Merci, je comprends.

Il reste un point à éclaircir.
Peterson a besoin de la commutativité pour pouvoir identifier $A$ à $C_0(K)$ pour un certain espace de Hausdorff localement compact.
Comment se fait cette identification ? Si $A$ est une $\C^*$-algebre d'opérateurs, on a pour deux opérateurs $P_1$ et $P_2$ deux projecteurs par exemple un produit égal à $0$. On va associer à ces deux opérateurs deux fonctions $f_1$ et $f_2$ (comment ?) et comment définir leur produit ?

JLT · February 2020

Théorème de Gelfand-Naimark : https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfand-Naimark_theorem

marco · February 2020

Finalement, j'avais trouvé la démonstration de $a \in eAe$.
En effet, si $a+b=2e$, alors $(1-e)a(1-e)+(1-e)b(1-e)=0$ car $e$ est une projection. Donc $a$ étant positif, il s'écrit $a=xx^*$, donc $(1-e)a(1-e)=yy^*$ avec $y=(1-e)x$.
Donc $(1-e)a(1-e)$ est positif. De même, $(1-e)b(1-e)$ est positif.
Leur somme étant $0$, ils sont tous les deux égaux à $0$.
Or $(1-e)a(1-e)=0$ implique $0=\|(1-e)x x^*(1-e)\|=\|(1-e)x\|^2$, donc $(1-e)x=0$, donc $(1-e)a=(1-e)x x^*=0$.
De même $a(1-e)=0$.
Donc $a=(1-e+e)a(1-e+e)=(1-e)a(1-e)+ea(1-e)+(1-e)ae+eae=eae \in eAe$.

C*-algèbre

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