Longeur d'une courbe définie par une fonction

anonyme6 · June 2006

Bonjour,

Existe un moyen simple de déterminer de façon générale la longueur d'une portion de courbe définie par une fonction f continue de |R dans |R ?

Par exemple quelle est la longueur de la portion de parabole définie par $f(x) = x^2$ entre les points (0,0) et (2,4) ?

Je ne me rappelle pas avoir jamais étudié ce genre de problème mais mes souvenirs de mathématiques sont un peu lointains.

Merci d'avance.

Philippe Malot · June 2006

La longueur de la courbe définie par une fonction $f$ (de classe $C^1$) entre les points d'abscisses $a$ et $b$ peut être calculée par une intégrale :
$$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))²}dx$$

ADSJ0 · June 2006

Tu paramètres ta courbe par $\gamma: t \mapsto (t,t^2)$. Il faut alors évaluer $$\int_0^2 ||\gamma '(t)|| \, dt=\int_0^2 \sqrt{1+4t^2} \, dt$$, mais je ne sais pas si on peut l'expliciter facilement...

ADSJ0 · June 2006

Philippe, je ne comprends ce que tu veux dire, $ \gamma'(t)=(1,2t)$, sa norme euclidienne vaut bien $ \sqrt{1^2+(2t)^2}$...

Philippe Malot · June 2006

Ca doit pouvoir s'arranger en posant $\displaystyle{t=\frac{sh(x)}{2}}$

ADSJ0 · June 2006

j'y avais pensé mais mes souvenirs sur les fonctions hyperboliques étant lointains, j'avais pas réalisé que $ch^2$ était un trinôme en exponentielle, facile à intégrer... Je pense qu'on doit y arriver...

Evariste Galois · June 2006

et comment démontrer votre résultat Philippe?

anonyme6 · June 2006

Merci pour vos réponses.

Je suis également interessé par la manière de le démontrer.

Je suis parti sur le calcul de la limite d'une suite définie comme la somme des longeurs de segments reliant des points de la courbe. Mais je me demande si c'est le bon moyen. Si vous avez des références je suis preneur.

Merci

Volny DE PASCALE0 · June 2006

Un modérateur pourrait-il rajouter le U de longueur dans le titre ?
 
 D'avance merci.
 
 Amicalement
 Volny

vinh le ricain · June 2006

Bonsoir,

moi, je le demontre "a la physicienne" pour renouer avec mes premieres amours. Tant pis si certains viendront hurler a l'infamie...

Considerons l'abscisse curvilligne $s$. Soit un element infinitesimal sur l'abscisse $dx$ et l'element infinitesimal $dy=df$ en ordonnee.

Au premier ordre, nous avons l'egalite $(ds)^2\simeq(dx)^2+(dy)^2$, ce qui donne alors $\sqrt{(ds)^2}=(ds)=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ puisque $(ds)$ est une distance, donc positive.

Cela se re-ecrit $(ds) = |(dx)|\sqrt{1+\left( \dfrac{dy}{dx}\right)^2}$, soit encore $ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ (car $dx>0$), d'ou, sur une lacet delimite par les deux abscisses $a$ et $b$:

$$
S(a,b)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx
$$

See ya'
vinh

See ya' !

Inconnu · June 2006

très jolie cette façon de calculer, vinh.

Evariste Galois · June 2006

que ce soit à la physicienne ou pas... je dis qu'une chose : Chapeau bas!

vinh le ricain · June 2006

Merci q !

La parametrisation proposee par adsj ne sort pas non plus du chapeau par magie puisqu'il s'agit d'une interpretation cinematique du mouvement d'un point dans le plan.

Si a tout moment $t$, un point materiel $M$ se deplace dans le plan $(O,x,y)$ de sorte qu'en "calant" a l'instant initial l'axe des abscisses de sorte qu'il coincide avec la vitesse (en d'autres termes, on choisit une composante de vitesse unitaire $v_x=1\:ms^{-1}$, soit encore $dx=dy$), le vecteur position s'ecrit tout simplement $\overrightarrow{OM}=(x=t, y(t))=(t,f(t))$, i.e. le $\gamma(t)$ de adsj.
Le vecteur vitesse s'ecrit alors $\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\overrightarrow{\gamma}(t)=(t, f'(t))$.

Enfin, l'abscisse curvilligne $s(t)$ s'ecrivant $ds=||\overrightarrow{v} ||dt$, on arrive bien a la meme formule...

Comme quoi, il ne faut pas systematiquement rejeter la physique. D'autre part, beaucoup de notions mathematiques comme les parametrisations, les integrales curvillignes se visualisent tres bien d'un point de vue physique ou cinematique alors que la formalisation mathematique peut paraitre austere a premiere vue. Comem quoi, peu de gens pensent a faire le lien, a force de vouloir rester dans un cadre purement mathematique...

See ya'
vinh

PS: bien entendu, ce que j'ai ecrit plus haut n'est pas une demonstration mathematique et n'a aucune valeur legale, mais pour un sujet de physique, ca passe. c'est comme ca que l'on fait pour etudier la corde vibrante... :-)

See ya' !

OlivierG0 · June 2006

Bonsoir,

On peut le montrer aussi de cette manière : on considère un intervalle $[a,b]$ et $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a,b]$. Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la subdivision régulière $(x_{k})_{0\leq k\leq n}$ de pas $\frac{b-a}{n}$; autrement dit, pour tout entier $0\leq k\leq n$, $$x_{k}=a+k\frac{b-a}{n}$$
Pour $k$ compris entre $0$ et $n-1$, la tangente à la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ en $A_{k}(x_{k},f(x_{k}))$ a pour équation :
$$y=f'(x_{k})(x-x_{k})+f(x_{k})$$
On note $B_{k}$ le point de cette tangente d'abscisse $x_{k+1}$.
La longueur $A_{k}B_{k}$ est alors égale à :
$$A_{k}B_{k}=\sqrt{(x_{k+1}-x_{k})^{2}+
(f(x_{k+1})-f(x_{k}))^{2}}=\frac{b-a}{n}\sqrt{1+
f'\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)^{2}}$$
Or, la longueur de la portion de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ comprise entre les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ est égale à :
$$l(f;a,b)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n-1}A_{k}B_{k}$$
autrement dit :
$$l(f;a,b)=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+f'\left(a+
k\frac{b-a}{n}\right)^{2}}$$
On reconnait une somme de Riemman. On a donc :
$$l(f;a,b)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(t)^{2}}dt$$

Amicalement.
Olivier.

vinh le ricain · June 2006

quelle elegance Olivier !

See ya'
vinh

Yalcin · June 2006

personnellement j suis bien intérssé par ce problème et j'ai trouvé e une formule par une somme qui peut je crois être transformée à l'intégrae donnée par Malot Philippe ,voici ce que je trouve en espérant de ne pas avoir fait des erreurs :