calcul de résidu

picsou0 · June 2006

bonjour,
j'ai un petit probleme pour des calculs de résidus dans le plan complexe.

voici ma fonction:
$f(z)=\frac{\exp(\frac{1}{1-z}}{z}$

Il faut trouver les poles. Donc pour moi il y a 0 qui est un pole simple et 1 qui est un point singulier essentiel.
Et ensuite calculer le residu associé a ces poles.
Donc pour 0 je dirai que le résidu vaut e.
Mais pour 1 je ne sais pas du tout comment faire.

Quelqu'un peut il m'aider??
Merci

cordwainer · June 2006

Bonsoir

Le résidu n'est-il pas défini que pour un pôle, et pas pour une singularité essentielle ?

RRt · June 2006

Bonjour,

tu commences par faire une translation pour avoir ton origine en 0 :
z=1+h, donc :
ta fonction deviens alors un produit de deux fonctions que tu sais developper en serie entiere au voisinage de zeros (1/(1+h) et e^(-1/h)), et apres tu calcules le terme en 1/h de la serie produit. Je pense que ca se calcule assez facilement.

RRt

JJ · June 2006

Bonjour,

sans être certain que la méthode employée soit tout à fait "orthodoxe" je pense que le résultat est correct : page jointe (à vérifier) 4629

JJ · June 2006

Bonjour,

je m'étonne qu'il n' y ait pas eu au moins un puriste de service pour réagir un tant soit peu !
Ou alors ce que j'ai écrit serait-il sans aucune insuffisance ? J'en doute...

fb0 · June 2006

Oui je pense que le calcul est juste. J'ai l'impression que ce que vous avez fait revient à calculer le résidu de la fonction $f$ en l'infini (ce à quoi on peut donner un sens en posant $u=1/z$ et en regardant le résidu en $u=0$). Ensuite, un résultat dit que la somme des résidus (en incluant l'infini) est nulle ...