<latex> Bonsoir Jayce,
j'ai ete un peu rapide et ma methode ne marchait pas du tout...
Voici la solution que je propose :
Notons $l$ (si tant est qu'elle existe)
$$
l = \lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{1-\cos x}{x^2}
$$
Remarquons tout d'abord que
$$
\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{1-\cos x}{x}= \lim_{x\rightarrow{0}}(\cos)'(x) = (\cos)'(0) = \sin (0) =0
$$
car il s'agit d'un simple taux d'accroissement pour une fonction derivable de derivee continue
$$
\lim_{x\rightarrow{x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\rightarrow{x_0}}f'(x)=f'(x_0)
$$
On definit alors la fonction $g$ definie par $g(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$. $g$ est prolongeable par continuite en $x=0$ avec $g(0)=0$ et on appelle aussi $g$, par simplicite, son prolongement.
On remarque alors un deuxieme taux d'accroissement dans la quantite $l$ en re-ecrivant :
$$
l = \lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow{0}}g'(x) = \lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{x\sin x -(1-\cos x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{\sin x}{x} - l
$$
Comme on a aussi que (encore un autre taux d'accroissement !)
$$
\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{\sin x}{x} =1
$$
on a au final l'egalite $l = 1 - l$ d'ou la valeur de $l=1/2$
See ya'
vinh
See ya' !
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