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limite usuelle

Envoyé par Jayce 
limite usuelle
il y a huit années
Bonjour,

Je me remets à faire des maths par plaisir car mon travail ne me permet pas de le faire. Et voilà que je ne suis pas capable de trouver la limite en 0 de l'expression :

[1-cos(x)]/x^2

Je sens bien un petit taux d'accroissement mais impossible de me débarasser du carré du quotient, fichtre!
Ya du travail je sais, et pourtant je suis passé par une prépa PC, comme quoi j'aurais du faire MP!!!
Merci d'avance pour votre aide. Je sens que je vais bien être dégoûté quand je vais voir la démonstration!!! Je suis impatient de voir la réponse, ça me saoûle de ne pas y arriver!
Please, HELP
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> Bonjour Jayce,

ecris
$$
\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{\frac{(1-\cos x)-(1-\cos 0)}{x-0}}{\frac{x^2 -0^2}{x-0}}
$$

tu devrais voir facilement ton taux d'accroissement.

See ya'
vinh

See ya' !
Re: limite usuelle
il y a huit années
Salut Jayce,

Quelle est ta définition de cos(x) ?
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> Merci Vinh,

Merci pour ta réponse ultra rapide!
Tu vas me prendre pour un idiot, mais je ne vois quelle fonction tu dérives ensuite!!!
J'ai utilisé $ (1-cos(x))/x$ mais ça doit pas être ça...En dérivant je retombe malheureusement sur la même indéterminée :

[1-cos(x)]/x^2

Je suis vraiment misérable.
Re: limite usuelle
il y a huit années
Comment ça ma définition de cos(x)? Comprends pas, je me fais vieux bordel!
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> $\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin(\frac{x}{2}}{\frac{x}{2})}\right)^{2}$
ensuite, comme $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$, tu en déduit la limite cherchée.
Re: limite usuelle
il y a huit années
Re: limite usuelle
il y a huit années
Merci cqfd!!! C'est ça bien sûr! Trop fort !
J'avais fait ça en plus comme transformation, mais après j'ai cherché à dériver sin (x/2), ce qui était incorrect à cause du carré bien sûr.
Coooooooooolllllllllll. Je me sens moins con. Quoique...
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> Jayce,

Comment ça tu ne comprends pas ? Tu cherches la limite d'une fonction. Ça peut aider de savoir de quelle fonction il s'agit. Je répète donc ma question : quelle est ta définition de la fonction $x \mapsto \cos(x)$ ?

A défaut, si tu n'as pas de telle définition, tu dois au moins connaître quelques propriétés de la fonction cos. Auquel cas : que sais-tu sur la fonction cos ?

Je sens que j'insiste un peu lourdement, or je ne voudrais vraiment pas t'ennuyer. Si la réponse de cqfd te satisfait pleinement (au passage : joli cqfd), oublions cette histoire de définition. Si, au contraire, tu penses pouvoir t'amuser en essayant de répondre à ma question, vois-la comme un complément à l'exercice.
Re: limite usuelle
il y a huit années
Barbu rasé,

La réponse de cqfd me comble entièrement oui. Je ne désire pas plus que ça me perdre dans des considérations qui m'ont toujours dépassé et que j'apprenais juste pour correspondre au schéma scolaire.
Mais il me semble me souvenir que la fonction cos que j'envisageais plus haut est une fonction définie, continue, dérivable sur R vers [-1,+1] et qui s'annule en Pi/2 modulo Pi . C'est plutôt basique mais ça me suffit. Quant à considérer ça comme une question complémentaire, j'ai passé l'âge merci!!!
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> Bonsoir Jayce,

j'ai ete un peu rapide et ma methode ne marchait pas du tout...

Voici la solution que je propose :

Notons $l$ (si tant est qu'elle existe)
$$
l = \lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{1-\cos x}{x^2}
$$

Remarquons tout d'abord que
$$
\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{1-\cos x}{x}= \lim_{x\rightarrow{0}}(\cos)'(x) = (\cos)'(0) = \sin (0) =0
$$
car il s'agit d'un simple taux d'accroissement pour une fonction derivable de derivee continue
$$
\lim_{x\rightarrow{x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\rightarrow{x_0}}f'(x)=f'(x_0)
$$

On definit alors la fonction $g$ definie par $g(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}$. $g$ est prolongeable par continuite en $x=0$ avec $g(0)=0$ et on appelle aussi $g$, par simplicite, son prolongement.

On remarque alors un deuxieme taux d'accroissement dans la quantite $l$ en re-ecrivant :
$$
l = \lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow{0}}g'(x) = \lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{x\sin x -(1-\cos x)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{\sin x}{x} - l
$$

Comme on a aussi que (encore un autre taux d'accroissement !)
$$
\lim_{x\rightarrow{0}}\dfrac{\sin x}{x} =1
$$

on a au final l'egalite $l = 1 - l$ d'ou la valeur de $l=1/2$

See ya'
vinh

See ya' !
Re: limite usuelle
il y a huit années
Bonsoir,

Tu aurais pu utiliser aussi le développement limité du cosinus en 0 ( que tu as dû voir en prépa).

Rouliane
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> ou encore plus élémentaire :\\

$\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=
\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\dfrac{1}{(1+\cos x)}$\\
Re: limite usuelle
il y a huit années
Merci pour toutes ces démonstrations qui me rappellent le bon vieux temps smiling smiley.
Par contre,Vinh le ricain, pour le prolongement de g en 0, faurdrait que tu m'expliques!!!
Rouliane, très élégant le développement limité, je l'avais fait figure-toi, mais il fallait utiliser des outils "pré" BAC, et ne pas enfoncer le clou avec ce puissant outil! Mais merci quand même.
Impressionnant trivecteur! Une pseudo "quantité conjuguée", pas mal!!!
Re: limite usuelle
il y a huit années
<latex> Hello Jayce,

$g$ telle que definie plus haut n'est pas definie en $x=0$. En revanche, elle est definie et meme continue pour tout $x\neq 0$. On s'apercoit alors que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}g(x)-0$.

On peut alors definir une fonction $\widetilde{g}$ definie de la facon suivante :

- $\widetilde{g}(x)=g(x)$ pour tout $x\neq 0$

- $\widetilde{g}(0)=0$

Cette fonction est appelee "prolongement par continuite" de $g$, en ce sens qu'elle est egale en tout point a $g$, mais qu'en plus, elle est definie et meme continue en les points ou $g$ ne l'etait pas. Par contre, $\widetilde{g}$ est bien continue puisque $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\widetilde{g}(x)=0=\widetilde{g}(0)$ par definition de $\widetilde{g}$.

Dans notre cas, il s'agit meme d'un raccordement par continuite puisque tu raccordes les parties $x0$.

See ya'
vinh

See ya' !
Re: limite usuelle
il y a huit années
En effet Jayce, après avoir écrit mon message, je me suis dit que j'avais du mal comprendre parce que ça m'étonnait que personne ne te propose l'idée du DL ( qui est la plus rapide ici, car elle nous permet d'avoir un équivalent en 0 de l'expression )

Rouliane
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