Abel non tangentiel

Bonjour,

Tout le monde connaît le théorème d'abel non tangentiel : si une série entière $\Sigma a_nz^n$, de rayon de convergence 1, est telle que $\Sigma a_n$ converge, alors $\lim_{z\to 1}\Sigma a_nz^n= \Sigma a_n$ sur un secteur angulaire $\{1-re^{i\theta}\}$ avec $r$ petit et $\theta$ borné.

Et qu'est-ce qui se passe en dehors du secteur angulaire en question, ie si on tend tangentiellement (en restant dans le disque de convergence)
Est-ce qu'on a des exemples de séries qui tendent vers autre chose, qui divergent ?

Globalement, est-ce que quelqu'un connait un endroit où on pourrait trouver des exemples de choses bizarres qui pourraient se passer sur le cercle de convergence ? Par exemple, est-ce qu'on peut trouver une série qui converge en exactement un point du cercle ?

Merci d'avance.