intégrale en attendant les bleus
Bonjour
<BR>
<BR>Je sèche sur : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="195" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \int_0^\infty \left(\ln\Big(\frac{ 1+\tan x}{1-\tan x}\Big) \right)^2.\frac{\mathrm dx}{x} $"></DIV><P></P>dont le résultat trouvé dans le G&R est : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="24" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img2.png" ALT="$ \dfrac{\pi^2}{2}$"></SPAN>
<BR>J'imagine qu'il faut passer par une série d'intégrales mais ne parviens pas à trouver l'astuce de base !
<BR>Merci de votre aide.
<BR>fjaclot;
<BR>
<BR>NB : La même avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="34" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img3.png" ALT="$ \sin x$"></SPAN> au lieu de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img4.png" ALT="$ \tan x$"></SPAN> donne <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="20" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img5.png" ALT="$ \pi^2$"></SPAN>, sans doute par la même méthode ?
<BR>
<BR>
<BR>[J'ai supposé que "tnx" était <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img4.png" ALT="$ \tan x$"></SPAN> ? Texte original dans "Code latex. AD]<BR>
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<BR>Je sèche sur : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="195" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \int_0^\infty \left(\ln\Big(\frac{ 1+\tan x}{1-\tan x}\Big) \right)^2.\frac{\mathrm dx}{x} $"></DIV><P></P>dont le résultat trouvé dans le G&R est : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="24" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img2.png" ALT="$ \dfrac{\pi^2}{2}$"></SPAN>
<BR>J'imagine qu'il faut passer par une série d'intégrales mais ne parviens pas à trouver l'astuce de base !
<BR>Merci de votre aide.
<BR>fjaclot;
<BR>
<BR>NB : La même avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="34" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img3.png" ALT="$ \sin x$"></SPAN> au lieu de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img4.png" ALT="$ \tan x$"></SPAN> donne <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="20" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img5.png" ALT="$ \pi^2$"></SPAN>, sans doute par la même méthode ?
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<BR>[J'ai supposé que "tnx" était <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/5/92316/cv/img4.png" ALT="$ \tan x$"></SPAN> ? Texte original dans "Code latex. AD]<BR>
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Réponses
Je sèche sur : $$ \int_0^\infty \left(\ln\Big(\frac{ 1+\tan x}{1-\tan x}\Big) \right)^2.\frac{\mathrm dx}{x} $$ dont le résultat trouvé dans le G&R est : $\dfrac{\pi^2}{2}$
J'imagine qu'il faut passer par une série d'intégrales mais ne parviens pas à trouver l'astuce de base !
Merci de votre aide.
fjaclot;
NB : La même avec $\sin x$ au lieu de $\tan x$ donne $\pi^2$, sans doute par la même méthode ?
[J'ai supposé que "tnx" était $\tan x$ ? Texte original dans "Code latex. AD]
Oui a tes 2 questions.
fjaclot;
L'intégrale n'est pas convergente pour les x = pi/4+k.pi (même si l'argument du log est affecté de valeur absolue)
Comme il doit y avoir une erreur dans l'énoncé de la question, je ne regarde pas si l'intégrale a une signification au sens de Cauchy, mais j'en doute à-priori.
au carre et non pas le Ln.
Je confirme que cette integrale (et celle avec sin au lieu de tan) sont dans
le G&R pour les valeurs indiquees dans mon post initial.
Desole pour l'erreur de frappe.
fjaclot.
G&R= Guide du Routard ?, chemin de Grande Randonnée?
il est important de relire et rerelire l'énoncé en tapant aperçu ,par courtoisie envers les nombreux mathernautes qui vont chercher à résoudre une relation qui sera fausse.
merci
avant de calculer cette intégrale modifiée, comment peut-on s'assurer d'abord qu'elle converge ?
merci
<BR>
<BR>en tenant compte du nouvel énoncé, je trouve que:
<BR>en 0, f peut être prolongée et f(0) = 4
<BR>pour x=pi/2 + k.pi , idem f(x) = 0
<BR>
<BR>mais quand x= pi/4 + k. pi/2, f tend vers + infini,
<BR>c'est ça?
<BR>
<BR>cette intégrale converge de plus vers [(pi)^2]/2;
<BR>
<BR>c'est quand même magique quelque part<BR><BR><BR>
As-tu une idee de la methode de calcul de meme que pour sa soeur (en sin(x) ?
A+
fjaclot;
et non fjaclot, je n'ai aucune idée,
par contre, parfois la fonction tend aussi vers - infini.
mais quand je m'aperçois que les math-stars de ce forum ne se manifestent pas, c'est que cette intégrale n'est pas conçue pour nous.
Tout d'abord, on peut montrer que les 2 intégrales $I$ et $J$ dont parle fjaclot et définies ci-dessous sont liées : $$I=\int_0^{+\infty} \ln \right( \frac{1+\tan x}{1-\tan x} \left)^2 \frac{dx}{x}$$ et $$I=\int_0^{+\infty} \ln \right( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \left)^2 \frac{dx}{x}$$
On remarque que $$ \right( \frac{1+\tan x}{1-\tan x} \left)^2= \right( \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} \left)^2= \frac{1+2\sin x \cos x}{1-2 \sin x \cos x}=\frac{1+\sin (2x)}{1-\sin(2x)}$$
Ensuite, on en déduit par un habile changement de variable que $$I=\int_0^{+\infty} \ln \right( \frac{1+\sin (2x)}{1-\sin(2x)} \left) \frac{dx}{x}=\int_0^{+\infty} \ln \right( \frac{1+\sin (2x)}{1-\sin(2x)} \left) \frac{dx}{x}=\int_0^{+\infty} \ln \right( \frac{1+\sin (u)}{1-\sin(u)} \left) \frac{du}{u}=\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \ln \right( \frac{1+\sin (u)}{1-\sin(u)} \left)^2 \frac{du}{u}=\frac{1}{2}J$$
Tout d'abord, on peut montrer que les 2 intégrales $I$ et $J$ dont parle fjaclot et définies ci-dessous sont liées : $$I=\int_0^{+\infty} \ln \left( \frac{1+\tan x}{1-\tan x} \right)^2 \frac{dx}{x}$$ et $$I=\int_0^{+\infty} \ln \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)^2 \frac{dx}{x}$$
On remarque que $$ \left( \frac{1+\tan x}{1-\tan x} \right)^2= \left( \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} \right)^2= \frac{1+2\sin x \cos x}{1-2 \sin x \cos x}=\frac{1+\sin (2x)}{1-\sin(2x)}$$
Ensuite, on en déduit par un habile changement de variable $u=2x$ que $$I=\int_0^{+\infty} \ln \left( \frac{1+\sin (2x)}{1-\sin(2x)} \right) \frac{dx}{x}=\int_0^{+\infty} \ln \left( \frac{1+\sin (u)}{1-\sin(u)} \right) \frac{du}{u}=\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \ln \left( \frac{1+\sin u}{1-\sin u} \right)^2 \frac{du}{u}=\frac{J}{2}$$
Enfin, on peut sans doute utiliser un développement en série entière de $\ln \frac{1+v}{1-v}$ pour essayer de poursuivre le calcul.
(1+tan(x))²/(1-tan(x))²=(1+sin(2x))/(1-sin(2x))
or ln((1+x)/(1-x))=2.sum((x^(2k+1))/(2k+1),k=0..+oo)
et Int(((sin(2x))^(2k+1))/x,x=0..+oo)=[(binomial(2k,k)).Pi]/(2^(2k+1))
et Sum((binomial(2k,k))/((2k+1)*(4^k)),k=0..+oo)=Pi/2
d'où le résultat
peux-tu montrer qu'elles convergent?
c'est vrai que vous êtes quelques un(e)s à éclabousser de votre classe ce forum;c'est très impressionnant et souvent aussi un véritable spectacle.
d'ailleurs pourquoi ne pas attribuer chaque année " l' évar " du meilleur analyste, du meilleur sujet,... ? On vôterait tous ; ça pourrait être sympathique; une idée pour nos amis modérateurs.
Pour Yalcin : Ce résultat que tu cites négligemment est-il un résultat trivialement connu ? $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^{2k+1}(2x)}{x}dx=\frac{C_{2k}^k}{2^{2k+1}}\pi$$
Pour bs : Je supposais que la convergence était quelque chose d'acquis.
Mais ce n'est pas difficile. Prouvons-la pour $J$
En $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi+h$ où $k \in \Z$ et $h\rightarrow 0$, on a $\ln \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)=\ln \left( \frac{1+\cos h}{1-\cos h} \right)= -2\ln|\tan \frac{h}{2}|=-2\ln(\frac{|h|}{2})+o(h)$ ce qui est intégrable au voisinage de 0.
On traite le cas $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi+h$ par imparité.
[Contenu du pdf joint. AD]
l'intégrale proposée par fjaclot n'est pas apparemment convergente
il n'existe pas en effet de compensation de divergence autour des pôles de la fonction à intégrer soient x = pi/4 + k.pi
mais il est probable qu'il existe une relation permettant la convergence par prolongement analytique
dans le style de I intégrale de 0 à 2 de dx/ln²x qui n'est pas apparemment convergente à cause du pôle x=1
mais qui l'est en fait par l'intermédiaire de la relation avec logarithme intégral Li(x) relation obtenue par intégration par parties:
I=-2/ln2 + Li(2)
cordialement
quand fjaclot a écrit son titre " intégrale en attendant les bleus",heureusement, notre ami n'avait pas précisé si c'était pour la demi-finale ou la finale;
pour JL: oui tu as raison, mais il y avait à l'origine une erreur de transcription et ce sont donc les intégrales réécrites par bisam le 07/07 à 18h08 qu'il faut calculer.
pour bisam: ok pour la convergence, merci
pour Yalcin: tu fais un DSE, tu permutes les deux signes somme,et tu utilises des résultats de sommation de coefficients binômiaux ; résultats (qui doivent figurer sur un livre que possède borde) et que tu as trouvé où?; super Yalcin, continue comme ça.
Il doit exister quelque part sur le net des pages avec toutes sortes de relation sur les coefficients binômiaux,merci pour les références.
je confirme le résultat de l'intégrale de fjaclot : pi²/2
on part de l'intégrale de 0 à 1 de (dt/2t).ln[(1+t)/(1-t)]
on peut développer le logarithme (fonction argth) et donc l'intégrale devient:
intégrale de 0 à 1 de [1 + t²/3 + t^4/5 + .......]dt = 1+1/3²+1/5²+.....=pi²/8
si on pose u=1/t on obtient:
intégrale de 1 à l'infini de (du/u).ln|(u+1)/(u-1)|=pi²/8
et en regroupant les deux intégrales on obtient le résultat pi²/2
cordialement
merci bs pour l'encouragement
On arrive donc au resultat mais je n'ai toujours pas compris pourquoi cette integrale converge ?
.....en attendant les bleus en2010 !
fjaclot;
Inspire toi du pendant "série" :
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n+1}(kx)}{k}=\frac{\pi}{2^{2n+1}}{2n \choose n}$$
pour $0