recherche désespérement ...

il suffit de prendre deux bijections de $\R $, genre $f_1(z)=z$ et $f_2(z)=z^3$..
à moins que la question ne m'ait échappé..

bonjour !

soit z0 réel, pour x=y=f1(z0), il existe un unique réel z tel que f1(z)=f1(z0) et f2(z)=f1(z0).
donc z=z0 et par suite f2(z0)=f1(z0).
ainsi on a nécessairement f1=f2=f avec f bijective.

réciproquement, si f est bijective f1=f2=f convient au problème

à+

Riri

en gros, tu cherches une bijection de $\R$ dans $\R^2$.. ca n'est pas evident a trouver. fais une recherche sur le forum, il ya deja eu des post a ce sujet.

ah, OK, je n'avais pas compris la question.
donc si j'ai bien compris cette fois-ci, tu cherches tout simplement une bijection de $\R $ sur $\R^2$.
il me semble que cette question a été souvent abordée sur ce forum (faire une recherche) : si je me rappelle bien, le principe d'une telle bijection est (en gros) d'associer au développement décimal de chaque réel les deux réels formés en prenant un chiffre sur deux du développement

Voir par exemple : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,294567

<BR>D'abord, il est clair qu'on peut ramener le problème à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="35" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img1.png&quot; ALT="$ [0;1]$"></SPAN>.
<BR>Le but est bien d'associer au réel dont le développement décimal est <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="90" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img2.png&quot; ALT="$ 0,p_1q_1p_2q_2...$"></SPAN> les réels <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="91" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img3.png&quot; ALT="$ p=0,p_1p_2...$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="89" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img4.png&quot; ALT="$ q=0,q_1q_2...$"></SPAN>.
<BR>
<BR>Pour la question des développements impropres : il suffit de convenir, lorsqu'on a deux développements possibles, de ne considérer que celui "qui ne se termine pas", donc, par exemple, de garder <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="63" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img5.png&quot; ALT="$ 0,9999...$"></SPAN> au lieu de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="51" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img6.png&quot; ALT="$ 1,000..$"></SPAN>.
<BR>Mais alors, évidemment, en règlant cette question, on crée une autre difficulté : par exemple, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="95" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img7.png&quot; ALT="$ 0,12304010...$"></SPAN> (alternance de <SPAN CLASS="MATH">0</SPAN> et de décimales non nulles) correspondrait à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="92" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img8.png&quot; ALT="$ p=0,1341...$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="80" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img9.png&quot; ALT="$ q=0,200..$"></SPAN> alors qu'on a exclu ce dernier type de développement.
<BR>Pour éviter ça, il suffit d'attacher à chaque décimale non nulle la suite des éventuels <SPAN CLASS="MATH">0</SPAN> qui la précède immédiatement et de considérer l'ensemble comme "une" décimale.
<BR>ainsi, dans mon exemple <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="95" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img7.png&quot; ALT="$ 0,12304010...$"></SPAN> donne en fait <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="88" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img10.png&quot; ALT="$ p=0,1301..$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="80" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/6/92426/cv/img11.png&quot; ALT="$ q=0,204..$"></SPAN>.<BR>

non, non, ça marche bien, bravo Aleg, c'est beaucoup plus simple que mon truc. Voilà enfin le bon entrelacement, pratiquement du 69

GG,
finalement, j'ai retrouvé la source de cette idée ; c'est dans le "Primer of Real Functions" de R. Boas, un petit livre indispensable que je ne me lasse pas de reprendre de temps en temps, et ce depuis une bonne vingtaine d'années que je l'ai acheté.

Thomas2,
c'est le processus de construction lui-même qui assure la bijectivité. Fais des exemples dans un sens ou dans l'autre pour t'en convaincre.

Effectivement le Boas est une très bonne lecture, vivement recommandée pour l'agregation (d'ailleurs il figure dans la bibliothèque de l'agreg). Est-ce que l'un d'entre vous a consulté la 4ème édition (je suis resté à la 3ème) ? Boas fils y a ajouté un chapitre sur l'intégration.