Equation différentielle
Bonjour,
Existe-t-il un "théorème" permettant d'affirmer ceci :
Soit l'équation différentielle :
(E) : a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = k + e(t),
où :
a, b, c et k sont des constantes,
e(t) est une fonction continue tendant vers 0.
On suppose que les racines de l'équation caractéristique ont des parties réelles négatives ; autrement dit, la solution générale de l'équation sans second membre tend vers 0.
Si on ne tient pas compte de la présence de e(t), une solution particulière de l'équation complète est y = k/c. Et la solution de (E) (toujours sans tenir compte de e(t)) tend vers k/c.
Quand je tiens compte de la présence de e(t), puis-je affirmer, étant donnée que e(t) tend vers 0, que la solution de (E) tend aussi vers k/c ?
Voilà mon problème. J'espère que j'ai été clair.
Merci à celle ou à celui qui voudra bien m'aider !
Seb.
Existe-t-il un "théorème" permettant d'affirmer ceci :
Soit l'équation différentielle :
(E) : a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = k + e(t),
où :
a, b, c et k sont des constantes,
e(t) est une fonction continue tendant vers 0.
On suppose que les racines de l'équation caractéristique ont des parties réelles négatives ; autrement dit, la solution générale de l'équation sans second membre tend vers 0.
Si on ne tient pas compte de la présence de e(t), une solution particulière de l'équation complète est y = k/c. Et la solution de (E) (toujours sans tenir compte de e(t)) tend vers k/c.
Quand je tiens compte de la présence de e(t), puis-je affirmer, étant donnée que e(t) tend vers 0, que la solution de (E) tend aussi vers k/c ?
Voilà mon problème. J'espère que j'ai été clair.
Merci à celle ou à celui qui voudra bien m'aider !
Seb.
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Réponses
Je pense que la réponse à ta question est oui, en voici une preuve
on note r1= -c²+ic' et r2= -d²+id' les 2 racines de l'équation caractéris...
On cherche une solution Y de ay''+by'+y = e(t) par la méthode de variation
des 2 constantes ( on cherche u et v avec y(t) = u(t)*y1(t)+v(t)*y2(t)
et y1(t) = exp(r1*t) et y2(t) = exp(r2*t) ); la solution générale de l'équa-
tion s'écrit: y(t) = k1*y1(t)+k2*y2(t)+k/c+Y(t) avec :
Y(t) = 1/(r2-r1)*int( [exp(r2(t-u))- exp(r1(t-u))]*e(u), u=0..t)
et pour gagner il suffit de montrer lim Y(t)=0 pour t infini
on écrit que lim e(u)=0 en + infini cad que |e(u)|<eps pour u>T et on sait
la fonction est bornée sur R par A.
on majore l'intégrale Y en valeur absolue en coupant l'intervalle [0, t]
en [0, t/2] et[t/2, t]; alors pour t> 2T
|Y(t)| < A*int(exp (d²(u-t)), u=0..t/2) + eps*int( exp(d²(u-t)), u=t/2..t) +
deux mêmes intégrales avec r1..; on calcule ces intégrales majorantes
et on voit facilement que chaque terme peut être plus petit que eps
cad lim Y(t) = 0 pour t infini d'où toute solution y(t) tend vers k/c...
j'espère que ma rédaction est compréhensible. Amicalement
Je suppose (vu les notions de physique qui semblent transparaître) que c'est lorsque t tend vers +oo.
La question revient donc à la suivante : Si y est une solution particulière de (E), est-ce que y tend vers la limite du second membre divisé par c (supposé non nul) ?
Intuitivement, je dirais OUI.
Physiquement, je dirais OUI aussi (s'il y a atténuation de l'entré d'un régime forcé, il y a atténuation de la sortie)
Mais je n'ai pas vraiment d'idée pour le démontrer.
Sur la borne de la limite, il s'agit bien de + oo.
Sur le contexte, c'est pas de la physique, mais de la microéconomie.
Je n'ai pas encore eu le temps d'étudier la proposition de démonstration.
Je réagis dès que c'est fait.
Merci encore.
A +
Par contre, par manque de culture mathématique, je ne suis pas familier de la méthode de la variation des constantes. Il va falloir que j'étudie ça plus en détail. Mais on trouve ça dans n'importe quel manuel, je crois!
Merci bien.
Je réagis à ton deuxième message : "Et pourquoi personne ne répond... Ma question est absurde ? Rassurez-moi... au moins sur l'intuition de base !"
Tu ne crois pas que tu es un peu impoli ? Pourquoi n'as-tu pas répondu toi-même ?
J'ai lu ta question , elle n'était pas évidente pour moi, je n'avais pas le temps d'aller regarder de plus près, je n'ai pas répondu. Et tu nous eng.. comme si on était tes domestiques.
Bravo JPB ! Et bravo pour ta patience de répondre dans ces conditions.
Cordialement
La méthode de variation des constantes s'applique à une équation
différentielle du second ordre linéaire avec second membre dont on connait
y1 et y2 solutions de l'équation sans second membre et elle permet ainsi
de trouver une solution particulière Y de l'équation complète
(E) ay"+by'+cy=e(t).
On cherche la solution Y sous la forme:
Y(t) = u(t)y1(t) + v(t)y2(t) ( ici u et v sont deux fonction inconnues)
On impose la condition u'(t)y1(t) +v'(t)y2(t) =0 (1),
on reporte dans (E) et on obtient
(2) u'(t)y1'(t) + v'(t)y2'(t) = e(t)
on résout le système (1) et (2) en u' et v', on intègre entre 0 et t
on obtient u(t) et v(t) et donc une solution particulière notée Y sous la
forme intégrale qu'il faut majorer ( noter l'astuce de couper l'intervalle
[0, t] en [0,t/2] et[t/2, t] ) pour montrer qu'elle tend vers pour t infini.
J'espère que tu as mieux compris et te redis bonsoir.
Les écrits n'expriment pas toujours les intentions. Je ne prends personne pour des domestiques. Je ne voulais pas être impoli. Et si mon message laisse croire ça, c'est involontaire.
Par contre, effectivement, je trouve ta réponse plutôt dure. Dans le doute sur mon intention, il me semble que le ton de ton message peut aussi être mal perçu.
Je serai vigilant sur la rédaction la prochaine fois. Je sais très bien que personne n'est payé pour ça (et encore heureux, sinon l'esprit même de ce genre de lieu serait perverti, me semble-t-il ?).
Enfin, pour ce qui est du service rendu et sur le fait que la question posée paraisse évidente aux mathématiciens, je crois que c'est précisément l'intérêt du net que de mélanger des personnes aux compétences variées, donc complémentaires, et capables de se rendre des services mutuels...
J'ai enfoncé beaucoup de portes ouvertes dans ce message, je sais ! J'arrête donc là.
Merci encore à tous.
Seb.
J'ai relu les réponses postées ci-dessus.
La méthode de variation des constantes n'a plus de secret pour moi (je blague, bien sûr !).
Même si la question semblait a priori évidente, la démonstration n'était pas à ma portée, vu la boîte à outils limitées dont je dispose :-( , mais que j'essaie d'alimenter progressivement en autodidacte :-).
Un grand merci à JPB, donc !
Fin.
Seb.