équation fonctionnelle

L'identité et les fonctions constantes marchent.

<< So the problem is rather to prove that a solution is necessarily linear or constant. >>

Sorry if it is a grosse bêtise (sorry also for the frenglish).
Doesn't any affine function working ?

Les fonctions polynomiales de degré $\leq 2$ sont les seules solutions.

(1) On vérifie facilement que ces fonctions sont bien solutions
(hint : la matrice
$\frac{1}{7}\begin{pmatrix}
3 & 6 & -2 \\
6 & -2 & 3 \\
-2 & 3 & 6
\end{pmatrix}$ est orthogonale).

(2) Soit $f$ une solution.

(a) On prouve d'abord que $f$ est deux fois dérivable.

En effet, on écrit
$f(x)+f(t)+f(0)=f(\frac{3x+6t}{7})+f(\frac{6x-2t}{7})
+f(\frac{-2x+3t}{7})$ quels que soient $x$ et $t$.

A $x$ réel fixé, on intègre par rapport à $t$ de $0$ à $1$ et on trouve
$f(x)=-f(0)-\int_0^1 f(t)dt+\frac{7}{6} \int_{3x/7}^{(3x+6)/7}f(t)dt+
-\frac{7}{2} \int_{6x/7}^{(6x-2)/7}f(t)dt
+\frac{7}{3}\int_{-2x/7}^{(-2x+3)/7}f(t)dt$.

Ceci assure la dérivabilité de $f$, puis sa dérivabilité à l'ordre $2$
(en fait le même raisonnement assure que $f$ est infiniment dérivable).

(b) On se ramène ensuite au cas où $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$, en considérant la fonction
$g : x \mapsto f(x)-\frac{x^2}{2}f''(0)-xf'(0)-f(0)$. La fonction $g$ est solution. On cherche à prouver qu'elle est identiquement nulle.

On fixe $(x,z)\in \R^2$.
En écrivant la relation de départ pour le triplet $(-2x,x,z)$, on trouve
$g(-2x)+g(x)+g(z)=g(-2z/7)+g(-2x+3z/7)+g(x+6z/7)$.

Dérivant cela par rapport à $z$ au point $0$, il vient
$g'(-2x)=-2g'(x)$. Ceci est vrai pour tout réel $x$.

(c) On introduit alors la fonction $h : x \mapsto \frac{g'(x)}{x}$.
La relation précédente peut se réécrire $h(x)=h(-\frac{x}{2})$ pour tout réel $x$ non nul. Puisque $g'$ est dérivable en $0$ et que $g'(0)=0$, c'est un exo classique que d'en déduire que $h$ est constante, de valeur $g''(0)=0$.

On en déduit facilement que $g$ est nulle.

Joli exo, un poil pénible tout de même.

bonjour

je suppose que cette élégante méthode est adaptable à toute équation fonctionnelle "dérivant" d'une matrice orthogonale d' ordre n; on obtiendra alors les fonctions polynomiales d'ordre (n-1) ?

merci Yauhen pour la référence de ton forum de math en anglais

Sylvain : Cétait du finnois.

Linear function = fonction affine (les joies de l'anglais)