exo fonction

Donc la fonction est constante

Je ne vois pas bien d'où sort que le max et le min sont tous deux égaux à f(0). Quelle est l'idée ?

Corentin :
Généralement quand elle est mesurable ça marche mais pas là : la fonction caractéristique de l'ensemble des nombres algèbriques de [0;1] convient (et est mesurable).

Lebesgue

L'ensemble des algébriques n'est pas mesurable?
Il me semblait pourtant que ces ensemble est dénombrable.

Oula... faut que je lise les phrases en entier.
Blablabla, c'est la chaleur tout ça.

salut !

le minimum m est atteint en a.
m = f(a) = sum(f(a^k)/2^k) <= m x sum(1/2^k) = m
avec égalité ssi pour tout k, f(a^k) = m
si a est différent de 1, alors par continuité de f et passage à la limité on a f(0) = m.
on fait pareil avec le max M qui est atteint en b.
si b différent de 1, alors f(0) = M.
on a alors m = M et f est constante.

si a et b sont égaux à 1 alors on a directement m = M et f constante.

reste le cas ou soit m soit M n'est atteint qu'en 1.

quitte à considérer -f on peut supposer que m n'est atteint qu'en 1.
et c'est là qu'il faut y aller à coup de continuité.
en 0, m n'est pas atteint donc on a des termes > m+e avec e > 0 qui vont se retrouver dans la somme pour k suffisamment grand si a^k tend vers 0.
par continuité on se prend un a très proche de 1 et < 1 tel que f(a) < m+e.
et ça doit marcher...

à+

Riri

Y'a un truc qui m'échappe. Riri écrit :
\[ m = f(a) = \sum_{k=1}^\infty \frac{f(a^k)}{2^k} \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{m}{2^k} \]

Hors par définition de $m$, pour tout $k \in \N$, $m \leq f(a^k)$. On aurait donc plutôt
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{f(a^k)}{2^k} \geq \sum_{k=1}^\infty \frac{m}{2^k} \]

Non ?

Par ailleurs je ne vois pas d'où vient le ssi. On peut très bien avoir $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{b_k}{2^k}}$ sans que $a_i$ soit égal à $b_i$ pour tout $i$.

Ah oui tiens, il y a un lapsus, c'est pas m mais M. Ca ne change rien à part le sens des inégalités.