Taylor Lagrange application

sasuke0 · July 2006

Bonjour a tous, en cette journée de coupe du monde j'aimerais poser cette question afin d'aborder le match avec sérénité^^
Donc comment prouver que pour tout x positif
x -x^3/3!<=sinx<=x -x^3/3! +x^5/5! en utilisant Taylor Lagrange sur la fonction sinx
En effet j'obtient si je vais jusqu'a n=5:
sinx=x -x^3/3! +x^5/5!+x^6/6!*(- sin(c)) c apartenant a ]0,x[
si c apartient a ]0,pis[ je suis ok car alors sin(c) positif et on obtient la majoration souhaitée mais comment conclure si c est tel que sin(c) est négatif ? (3pi/2 par ex), je vous remercie d'avance !

Aleg · July 2006

bonjour sasuke,
soit $x>0$ (si $x=0$ les inégalités sont évidentes) :
Taylor-Lagrange à l'ordre 2 sur $[0;x]$ fournit l'existence de $c\in ]0;x[$ tel que
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}\cos c$$
d'où, puisque $\cos c\leq 1$, ton inégalité de gauche.
De même, Taylor-Lagrange à l'ordre 4 fournit l'existence de $d\in ]0;x[$ tel que
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\cos d$$
d'où ton inégalité de droite.

sasuke0 · July 2006

Merci Aleg la force est en toi !C'est bizarre mais il ne m'est pas venu à l'idée de faire Taylor à l'ordre 2 et 4, serait-ce que la force n'est pas en moi ??

Taylor Lagrange application

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