Impulsion de Dirac
J'avais entendu parler de l'impulsion de Dirac dans des articles de vulgarisation, ou ca serait une fonction qui vaudrait 0 partout sauf en zéro ou elle vaudrait ... l'infini, de sorte que son intégrale sur tout $\R$ fasse 1 !
Là, durant mes oraux je l'ai rencontrée dans un cadre plus formel, c'est à dire dans un sujet d'ADS.
Rapidement, ce genre de sujet est un texte scientifique d'une dizaine de page, qui mélange maths, physique et parfois informatique (il n'y en n'avait pas dans mon cas), on doit en rendre compte apres un temps de préparation.
Ici, l'impulsion de Dirac était notée sous la forme:
si $t\noteq 0$ alors $\delta(t)=0¤
$\int _{- \infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1 $
Il est précisée que $\delta$ n'est pas une fonction, mais un "nouvel objet mathématiques". Dans ce cas de quelle intégrale parle-t-on dans la définition ? Certainement pas celle de Riemann qui devrait valoir zéro.
Là, durant mes oraux je l'ai rencontrée dans un cadre plus formel, c'est à dire dans un sujet d'ADS.
Rapidement, ce genre de sujet est un texte scientifique d'une dizaine de page, qui mélange maths, physique et parfois informatique (il n'y en n'avait pas dans mon cas), on doit en rendre compte apres un temps de préparation.
Ici, l'impulsion de Dirac était notée sous la forme:
si $t\noteq 0$ alors $\delta(t)=0¤
$\int _{- \infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1 $
Il est précisée que $\delta$ n'est pas une fonction, mais un "nouvel objet mathématiques". Dans ce cas de quelle intégrale parle-t-on dans la définition ? Certainement pas celle de Riemann qui devrait valoir zéro.
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Réponses
Là, durant mes oraux je l'ai rencontrée dans un cadre plus formel, c'est à dire dans un sujet d'ADS.\\
Rapidement, ce genre de sujet est un texte scientifique d'une dizaine de page, qui mélange maths, physique et parfois informatique (il n'y en n'avait pas dans mon cas), on doit en rendre compte apres un temps de préparation.
Ici, l'impulsion de Dirac était notée sous la forme:
si $t\noteq 0$ alors $\delta(t)=0$
$\int _{- \infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1 $
Il est précisée que $\delta$ n'est pas une fonction, mais un "nouvel objet mathématiques". Dans ce cas de quelle intégrale parle-t-on dans la définition ? Certainement pas celle de Riemann qui devrait valoir zéro.
Puisque tu parles d'ADS, je suppose que tu es en spé, ce qui suffira ce que je vais raconter (c'est mon TIPE)
En fait, on peut démontrer qu'il n'existe pas de telle fonction dans le cadre de l'intégrale de Riemann. Il faut étendre le concept de fonction, ce que réalise la théorie des \it distributions.
On passe en effet d'un point de vue ponctuel (un point x -> une valeur f(x) ) à un point de vue de physicien: on réalise des "moyennes" sur des parties de l'espace.
Formellement, une distribution, c'est une forme linéaire définie sur l'espace des fonctions de classe C infini à support compact (nulles en dehors d'un certain compact) continues pour une certaine topologie (je n'entre pas dans les détails).
Sous ce point de vue, la distribution de Dirac, telle que tu la définis, si on fait l'intégrale de delta multipliée par phi (C infini à support compact), on devrait avoir quelque chose du genre (si cette intégrale existait)
$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \phi(x) dx=\phi(0)$
puisque intuitivement, la masse de dirac est concentrée à l'origine. Comme on peut lire le premier membre en termes de forme linéaire, on définit la distribution de Dirac par
$< \delta,\phi > = \phi(0)$
Voilà, j'espère que ça répond un peu à tes questions... La théorie des distributions est d'une élégance rare et sert couramment pour les équations aux dérivées partielles...
Cordialement,
GEB
Cordialement,
GEB
pour une introduction simple à la notion de distribution et à ses applications, tu peux te reporter au livre de C. Gasquet et P. Wittomski : analyse de Fourier et applications (Dunod ?)
tu y trouveras des réponses abordables aux questions que tu te poses sur Dirac et compagnie.
Comme cela est précisé, ce delta n'est pas une fonction mais bel et bien un nouvel objet mathématique que l'on appelle distribution et qui constitue une généralisation des fonctions (localement sommables).
L'intégrale n'est donc pas prise au sens de Riemann. Et même au sens de Lebesgue, si delta était une fonction, puisqu'elle est nulle presque partout son intégrale serait nulle. Ce n'est pas le cas.
Le bref apreçu des distributions fait par GEB vous édifiera. Néanmoins, j'aimerais ajouter que l'on définit généralement ces nouveaux objets mathématiques (les distributions) sur l'espace des fonctions C infini à support compact. Néanmoins delta a d'autres propriétés :
- c'est une distribution d'ordre zéro (une mesure)
- elle est à support compact.
Il en découle que l'on peut appliquer la distribution de Dirac à une fonction continue. Ainsi donc en prenant pour phi la fonction constante valant l'unité dans la définition de GEB, vous obtenez le résultat souhaité concernant "l'intégrale" de delta. Une dernière chose c'est un abus de notation dû aux physiciens et qui est valable pour les distributions régulières qui sont les distributions associées aux fonctions localement sommables.
A bientôt.
S'il n'y comprend rien du tout il reviendra à la charge et peut-être alors que le bouquin que vous lui avez indiquez lui premettra de mieux comprendre plus tard ce qu'il a du mal à comprendre aujourd'hui.
Salut