$z:x \mapsto \frac{x^2}{3}+K\sqrt{|x|}$, où $K \in \R$
Il n'y a pas de difficulté particulière si ce n'est peut-être le problème de raccord en $x=0$...
2xz'-4z = x²
on commence par résoudre l'équation sans second membre : 2xz'-4z=0
z'/z = 2/x donc ln(z) = 2 ln(x)+constante
z = C.x²
Puis on cherche une solution particulière de l'équation complète.
On peut utiliser la méthode de "variation de la constante" qui devient fonction de x :
z = x².C(x)
z' = 2x.C +x².C'
2xz'-4z = 2x(2x.C +x².C') -4C(C.x²) = 2(x^3).C' = x²
donc C' = 1/(2x)
C= (1/2)ln(x)+c
Résultat : z = x²( (1/2)ln(x)+c ) = (1/2)x²ln(x) +c.x²
J'ai oublié le 4 devant le z... voilà comment j'ai fait !
Ceci dit, je ne crois pas que ce soit plus difficile avec.
Sauf peut-être pour trouver la solution particulière... mais la variation de la constante est très simple dans ce cas-ci...
Bon, le temps que je réponde et il y a 3 solutions exactes... c'est pas grave, la prochaine fois que je voudrai être succinct, je m'assurerai au moins d'avoir le bon énoncé (je le dis suffisamment à mes élèves : LISEZ L'ENONCE !)
Réponses
Il n'y a pas de difficulté particulière si ce n'est peut-être le problème de raccord en $x=0$...
Maple me sort : z(x)=(x²/2)ln(x)+Kx²
Merci
2xz'-4z = x²
on commence par résoudre l'équation sans second membre : 2xz'-4z=0
z'/z = 2/x donc ln(z) = 2 ln(x)+constante
z = C.x²
Puis on cherche une solution particulière de l'équation complète.
On peut utiliser la méthode de "variation de la constante" qui devient fonction de x :
z = x².C(x)
z' = 2x.C +x².C'
2xz'-4z = 2x(2x.C +x².C') -4C(C.x²) = 2(x^3).C' = x²
donc C' = 1/(2x)
C= (1/2)ln(x)+c
Résultat : z = x²( (1/2)ln(x)+c ) = (1/2)x²ln(x) +c.x²
équivaut à 2xz' - 4z = x²
L'homogène est facile : dz/z= 2/xdx
Une solution particulière: z:x--> 5/4x²
Eso creo
Ceci dit, je ne crois pas que ce soit plus difficile avec.
Sauf peut-être pour trouver la solution particulière... mais la variation de la constante est très simple dans ce cas-ci...