Un peu d'Intégration

Bonjour,

Voici un petit exercice d’intégration qui me pose problème:

On se place sur l’espace R^d. Soit f appartenant à Ck(R^d, R) (l’ensemble des fonctions continues nulles hors d’un compact)

Soit f appartenant à Ck(R^d,R).
On note µd la mesure de Lebesgue sur R^d et on pose µd(B(0,1)=vd.


Et je veux montrer que pour tout y appartenant à R^d la lim quand r tend vers 0 de [(1/r^d) * (l’intégrale de f(x) sur B(y,r) pour la mesure de Lebesgue)] est égale à vd*f(y).

Mon idée était

-de faire deux changements de variables : une translation B(y,r) ==>B(0,r), suivie d’une homothéties de rapport 1/r B(0,r)==>B(0,1)
-De considérer l’intégrale sur R (ou sur K=le compact sur le quel f est défini) de la fonction ainsi trouvée : g(z,r)=1B(0,1)f(z)
-Vérifier que l’on peut « passer à la limite sous le signe intégrale » pour g(z)…(car continues sur et nulle hors d’un compact…)

Mais au lieu de vd*f(y) j’ai comme limite 0 à chaque tentative.

Pourriez-vous me dire si mon raisonnement tient la route ?
Comment vous auriez procédé vous ?


Merci

Ziggy