Représentation des formes linéaires

Bonjour

Une petite question sur les formes linéaires. On sait d'aprés le théorème de représentation de Riesz que pour un Hilbertien $\mathcal{H}$ il y a isomorphisme avec le dual topologique $\mathcal{H}'$.

Cependant si l'on considère l'espace $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ des fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$ à support borné ( respectivement l'espace de Schartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ), on sait bien que $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ ( respectivement $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ ) contient des distributions singulières, qui par définition ne peuvent pas s'écrire comme des produits scalaires ( l'exemple typique de $\delta$ ).

Il me semble par ailleurs que $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ (respectivement $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ) est préhilbertien pour $( f | g ) = \int_{\mathbb{R}} f(t) g(t) dt$ . La présence de distributions singulières serait donc due à l'incomplétude de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ (respectivement de $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ) ? Pourtant les démonstrations standards du théorème de représentation de Riesz (comme celle sur wikipédia) ne me semblent pas utiliser cette propriété ... Je dois louper quelque chose mais je ne vois pas où ...

Petite question annexe : si l'on se place dans un préhilbertien $( \mathcal{H}, (\cdot|\cdot) )$ y a t'il des théorèmes donnant plus généralement des indications sur la possibilité de représentation d'une forme linéaire (continue ?) comme un produit scalaire ?