Equa diff
bonjour, je bute un peu sur un exo avec des equa diff...
l'enoncé se trouve la :
\lien{http://www.math.uni-heidelberg.de/studinfo/gerhardt/Analysis-III/Blatt-III-11.pdf}
ce que j'ai commencé a faire est la (si au passage qqn pouvait me confirmer que c'est correct :-) ):
\lien{http://a.brochier.free.fr/blatt11.pdf}
en fait, on nous demande de trouver la methode generale de resolution d'equa diff lineaire du premier ordre.. sans coefficient devant le $\dot{x}$ donc pas de probleme de fonction qui s'annule..
ensuite, on nous demande de resoudre certaines equa diff mais cette fois il y a un $t$ devant le $\dot{x}$, et je ne sais pas comment m'en depatouiller. si on pose $t=0$, on en deduit que $x(0)=0$, mais apres je ne sais pas quoi faire.. donner l'ensemble de solution sous forme de fonctions discontinues, donner des solutions sur $\R^*$ ( mais il me semblait que l'intervalle de definition devait contenir 0..) ??
donc voila, si vous avez une idee pour me tirer de la.
l'enoncé se trouve la :
\lien{http://www.math.uni-heidelberg.de/studinfo/gerhardt/Analysis-III/Blatt-III-11.pdf}
ce que j'ai commencé a faire est la (si au passage qqn pouvait me confirmer que c'est correct :-) ):
\lien{http://a.brochier.free.fr/blatt11.pdf}
en fait, on nous demande de trouver la methode generale de resolution d'equa diff lineaire du premier ordre.. sans coefficient devant le $\dot{x}$ donc pas de probleme de fonction qui s'annule..
ensuite, on nous demande de resoudre certaines equa diff mais cette fois il y a un $t$ devant le $\dot{x}$, et je ne sais pas comment m'en depatouiller. si on pose $t=0$, on en deduit que $x(0)=0$, mais apres je ne sais pas quoi faire.. donner l'ensemble de solution sous forme de fonctions discontinues, donner des solutions sur $\R^*$ ( mais il me semblait que l'intervalle de definition devait contenir 0..) ??
donc voila, si vous avez une idee pour me tirer de la.
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Réponses
Ce que tu as fait à l'air juste, même si je ne comprend pas un mot d'allemand.
Nicolas
<BR>
<BR>merci pour ta reponse !<BR>
Pour le cas t=0, tu connais la forme des solutions pour $t>0$ et $t
$$\dot{x}=\frac{-2}{t}x$$
donc en appliquant ma formule, je calcule une primitive de $\frac{-2}{t}$, a savoir $-2 \ln(t)=ln(t^{-2})$. j'en deduis :
$$x(t)=Ce^{ln(t^{-2})}=\frac{C}{t^2}$$
et la clairement je ne peux pas la prolonger en 0.. d'ou ma question, dois je en conlure que la seule solution est l'application nulle, dois je sortir une fonction non continue, .. ?
merci de ton aide !
moi je pensais que "general solution" faisait reference au fait qu'on avait pas de conditions initiales, donc on devait donner une formule generale avec un ou des parametres. dans mon cas, $C/t^2$ me semble etre une solution generale, si ce n'est ce probleme du t qui s'annule..
$ t \longrightarrow C_1/t^2$ si $t>0$
$ t \longrightarrow C_2/t^2$ si $t
pour les équa diif du style $a(t)x^{\prime }(t)+b(t)x(t)=0$, on commence par résoudre sur {\bf chacun} des intervalles $I_k$ sur lesquels la fct $a$ ne s'annule pas : on obtient alors une solution générale pour {\bf chaque} intervalle $I_k$ du type $x(t)=\lambda_k\,e^{-G(t)}$ où $G$ est une primitive de $b/a$ sur $I_k$.
Après, si tu cherches des solutions sur un domaine plus large (disons, sur $\R$ par exemple) c'est un problème de recollement de solutions.
par exemple pour $tx^{\prime }(t)+2x(t)=0$ :
la solution générale sur $I_1=]-\infy ;0[$ est $x_1(t)=\lambda_1/t^2$, et la solution générale sur $I_2=]0;+\infty [$ est $x_2(t)=\lambda_2/t^2$. Si maintenant on cherche une solution $x(t)$ de l'équation sur $\R $ cette fois-ci, on raisonne par conditions nécessaires : d'après ce qu'on vient de dire, il devrait exister deux réels $\lambda_1$ et $\lambda_2$ tels qu'on ait $x(t)=\lambda_1/t^2$ pour tout $t0$.
La discussion se fait alors sur les relations à imposer entre $\lambda_1$ et $\lambda_2$ pour avoir $x(t)$ dérivable (donc continue) sur $\R$, puis, une fois ces relations déterminées, on vérifie la condition suffisante : $x(t)$ ainsi déterminée vérifie bien $tx^{\prime }(t)+2x(t)=0$ pour {\bf tout} réel $t$.
Dans le cas qui nous occupe, la discussion est vite réglée car la seule possibilité de trouver une fct $x(t)$ dérivable en $0$ qui vérifie $x(t)=\lambda_1/t^2$ pour tout $t0$, est d'avoir $\lambda_1=\lambda_2=0$.
Conclusion : la seule solution sur $\R $ de l'équation $tx^{\prime }(t)+2x(t)=0$ est l'application nulle (ce qui était clair dès le départ puisqu'on a une équation homogène).
D'une façon générale, il "n'y a pas de règle" lorsqu'on cherche à recoller des solutions de $a(t)x^{\prime }(t)+b(t)x(t)=c(t)$ sur des intervalles disjoints : on peut très bien trouver une solution (comme ici), aucune ou une infinité.
<BR>
<BR>merci pour ces precisions !<BR>