B=rot A

Enfin, écrit comme ça, c'est faux. Il faut une hypothèse sur l'ouvert U (du style simple connexité). Ça a des liens très forts avec de grosses maths (cohomologie de De Rham). Si c'est juste pour comprendre un cours de physique de premier cycle, crois-moi : le jeu n'en vaut pas la chandelle.

je pense qu'il s'agit de la page 33 de <a href=" http://www.cmla.ens-cachan.fr/Utilisateurs/desville/fichiers_ps/cmp79.pdf"&gt; http://www.cmla.ens-cachan.fr/Utilisateurs/desville/fichiers_ps/cmp79.pdf</a><BR><BR><BR&gt;

Même si ce sont des maths compliquées, ça n'interdit pas de voir une preuve dans un cas facile, histoire d'avoir une bonne raison d'y croire.
Je crois que l'hypothèse est convexe. (il me semble que c'est l'hypothèse dans Cartan)

Si, $\R^2$ ne l'est pas, mais il est clair en se le représentant (ou si on est doué en dessin) que $\R^3\setminus\{0\}$ est simplement connexe.
Essentiellement, là où on butait sur un point en dim 2 on pourra le contourner ici à l'aide de la troisième dimension.

Tous ces théorèmes (genre formule de Stokes etc.) sont extrêmement compliqués quand on veut les aborder d'un point de vue mathématique. Il est sans doûte préférable de les admettre, en connaissant quand même les conditions d'application.

La lecture de votre texte, Eric, ne fait que me conforter dans ma position. J'ai vu toutes ces formules dans mes premières années de fac, quand j'étudiais la Physique, et je ne me suis jamais penché sur les démonstrations. C'est franchement sans grand intérêt, ce qui compte c'est leur exploitation.

Sylvain, tu es bien gentil, mais quand on te sort en cours de physique, en sup, la formule de Green-Ostrogradski sur un domaine non borné alors qu'on vient de Terminale et qu'on ne sait même pas vraiment ce qu'est une intégrale simple, l'attitude la plus sage consiste à ne pas remettre en question ce que dit le prof de physique et d'appliquer "bêtement" ce qu'il croit être vrai...

d'accord avec Aleg, j'en profite pour passer un coup de gueule contre les profs de physiques qui nous balancent à la gueule des gradients et des formules de changements de variables dans les dérivées partielles en début d'année alors qu'on n'a même pas vu ce qu'est le calcul différentiel des fonctions à plusieurs variables. Fin de la parenthèse.



Pour en revenir à ce qu'à dit Sylvain, dans ce cas précis de la formule de Stokes, sa démontration qui est purement mathématique n'apportera rien à un physicien, d'ailleurs la plupart des formules de ce style sont utilisées par des physiciens depuis des siecles sans qu'ils se soient souciées d'une part si elles sont vraies (elles sont évidentes la plupart du temps, au sens ou elles se voient) et d'autres part comment les montrer si effectivement elles sont vraies

Les dernières lignes de Domi me rappellent la notion de "vecteur libre" et de "vecteur lié". Je ne sais pas si ce vocabulaire existe encore.

On est bien d'accord que des hypothèses très fortes comme convexe, étoilé, ou contractile réussissent à faire fonctionner ce que l'on veut...

Cela dit, dans le lemme de Poincaré qu'on apprend (apprenait ?) en spé sur les 1-formes différentielles, il était souvent dit que l'hypothèse « simplement connexe » suffisait, ce qui est quand même une hypothèse un brin plus raisonnable. Je voulais juste insister sur le fait que ce n'est pas ce lemme de Poincaré-là qui nous intéresse, mais un autre pour lequel la signification topologique est moins claire, et qui en particulier n'est ni plus fort, ni plus faible que simplement connexe. C'est parce qu'ici, c'est bien de 2-formes qu'il est question : On peut identifier les 1-formes et les 2-formes aux champs de vecteurs, et les 0-formes et les 3-formes aux fonctions scalaires. La différentielle des 0-formes correspons alors au gradient, celle des 1-formes au rotationnel, et celles des 2-formes à la divergence. Dire qu'un champ à divergence nulle est un rotationnel, c'est dire que toute 2-forme fermée est exacte, c'est-à-dire que le deuxième groupe de cohomologie de De Rham est nul.

Et je maintiens que de toute façon, les maths utiles pour comprendre vraiment un cours de physique de premier cycle/CPGE sont tellement compliquées (au moins un bon cours de géo diff de maîtrise) qu'il vaut mieux apprendre à tout faire comme un gros crade : d'une part c'est ce qu'on attend de toi, et d'autre part, ça t'aidera sans doute à comprendre ce cours de maîtrise si tu le croise un jour.

Bonne chance,

Sylvain ,

savant mélange de contre-vérités , l'éducation est strictement positive même quand on est 100% ascolaire comme je le suis . Chacun garde son libre arbitre et si je me suis souvent emm.. en cours , je n'ai jamais eu l'impression que l'on voulait m'enfermer dans un moule . Avec le recul je me dit que de nombreux cours auraient mérité bien plus d'attention et que la pensées de nos illustres ancêtres nous ouvrent bien plus de voies qu'elles n'en ferment . Mais bon , à chacun son parcours .

Domi