fonction continue

Si on est en dimension k>=2.
Soit Im f=]a,b[, f est approchable a (b-a)/4 pres par une fonction $C^\infty$ g. Soit y pres du milieu de ]a,b[ tel que y n'est pas l'image d'un point de differentielle nulle de g, $g^{-1}(y)$ est une sous-variete V de $R^n$. Soit l'ensembles des composantes connexes du complementaire de V
, il en existe une A tel que inf f=a et une B tel que sup f=b. Si aucune des deux n'est non bornée, on peut prenant un suite de points $x_n$ dans A tendant vers l'infini plus vite que n tel que $f(x_n)$ tend vers a et de meme $y_n$ dans B
tendant vers l'infini plus vite que n tel que $f(y_n)$ tend vers b, construire un chemin eloigne de plus de $n$ de l'origine si on est en dimension k >=2, donc un point eloigne de plus de n de l'origine tel que f(z)=y pour tout n donc l'image reciproque de y n'est pas compact.
Si A ou B est borne alors f atteint ses bornes sur l'adherence.