fonction continue
Bonjour à tous,
je cherche une solution à ce problème (sur lequel je suis déjà tombé) :
Soit $f : \R^n \to \R$ une application continue telle que pour tout $x \in \R$, $f^{-1}(\{x\})$ soit un compact.
Que dire quant à l'existence d'un extremum absolu pour $f$ ?
(Il faut séparer les cas $n = 1$ et $n \geq 2$).
Cordialement
je cherche une solution à ce problème (sur lequel je suis déjà tombé) :
Soit $f : \R^n \to \R$ une application continue telle que pour tout $x \in \R$, $f^{-1}(\{x\})$ soit un compact.
Que dire quant à l'existence d'un extremum absolu pour $f$ ?
(Il faut séparer les cas $n = 1$ et $n \geq 2$).
Cordialement
Réponses
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Si on est en dimension k>=2.
Soit Im f=]a,b[, f est approchable a (b-a)/4 pres par une fonction $C^\infty$ g. Soit y pres du milieu de ]a,b[ tel que y n'est pas l'image d'un point de differentielle nulle de g, $g^{-1}(y)$ est une sous-variete V de $R^n$. Soit l'ensembles des composantes connexes du complementaire de V
, il en existe une A tel que inf f=a et une B tel que sup f=b. Si aucune des deux n'est non bornée, on peut prenant un suite de points $x_n$ dans A tendant vers l'infini plus vite que n tel que $f(x_n)$ tend vers a et de meme $y_n$ dans B
tendant vers l'infini plus vite que n tel que $f(y_n)$ tend vers b, construire un chemin eloigne de plus de $n$ de l'origine si on est en dimension k >=2, donc un point eloigne de plus de n de l'origine tel que f(z)=y pour tout n donc l'image reciproque de y n'est pas compact.
Si A ou B est borne alors f atteint ses bornes sur l'adherence. -
Remarque, ca ne sert a rien d'approcher f par un fonction differentiable, il suffit de prendre les composantes connexes du complementaire de $f^{-1}(x)$.
marco
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