analyse complexe : où est l'erreur ?
bonjour,
je voudrais montrer que pour u : V'-> C et f : V->V' holomorphe on a :
$ \Delta (uof) = |f'| * ( (\Delta u)of) $
donc
$\frac{\partial uof}{\partial z}=f' * ( \frac{\partial u}{\partial z}of )$ car f est
holomorphe donc df=f'dz.
puis : $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} (f' * (\frac{\partial u}{\partial z} of) = \frac{\partial f'}{\partial \bar{z}} * (\frac{\partial u}{\partial z}of) + f' * \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} * (\frac{\partial^2 u}{\partial \bar{z} \partial z}of)$
or f' est aussi holomorphe et donc $\frac{\partial f'}{\partial \bar{z}} = 0$ donc
$\frac{\partial}{\partial \bar{z}} (f' * (\frac{\partial u}{\partial z} of))= f' * \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} * (\frac{\partial^2 u}{\partial \bar{z} \partial z}of)$
mais là f est aussi holomorphe et $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$... bref y a une erreur (sinon la composée d'une fonction C² et d'une fonction holomorphe serait harmonique ... hum hum) mais je vois pas où. surtout que je devrais obtenir $\frac{\partial f}{\partial z} * \bar{\frac{\partial f}{\partial z}}$ dans mon expression ...
merci d'avance
je voudrais montrer que pour u : V'-> C et f : V->V' holomorphe on a :
$ \Delta (uof) = |f'| * ( (\Delta u)of) $
donc
$\frac{\partial uof}{\partial z}=f' * ( \frac{\partial u}{\partial z}of )$ car f est
holomorphe donc df=f'dz.
puis : $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} (f' * (\frac{\partial u}{\partial z} of) = \frac{\partial f'}{\partial \bar{z}} * (\frac{\partial u}{\partial z}of) + f' * \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} * (\frac{\partial^2 u}{\partial \bar{z} \partial z}of)$
or f' est aussi holomorphe et donc $\frac{\partial f'}{\partial \bar{z}} = 0$ donc
$\frac{\partial}{\partial \bar{z}} (f' * (\frac{\partial u}{\partial z} of))= f' * \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} * (\frac{\partial^2 u}{\partial \bar{z} \partial z}of)$
mais là f est aussi holomorphe et $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$... bref y a une erreur (sinon la composée d'une fonction C² et d'une fonction holomorphe serait harmonique ... hum hum) mais je vois pas où. surtout que je devrais obtenir $\frac{\partial f}{\partial z} * \bar{\frac{\partial f}{\partial z}}$ dans mon expression ...
merci d'avance
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Réponses
$$\frac{\partial (u \circ f)}{\partial \bar{z}}
=\overline{f'} \cdot \frac{\partial u}{\partial \bar{z}} \circ f$$
et non pas celle que tu as écrite.
$$\frac{\partial (u \circ f)}{\partial \bar{z}}
=\overline{\frac{\partial f}{\partial z}} \cdot \frac{\partial u}{\partial \bar{z}} \circ f$$
mais en essayant d'établir cette formule en remplaçant les $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$ par $\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial \bar{x}}+i\frac{\partial}{\partial \bar{y}})$ et j'ai une erreur de signe quelque part, y a quelque chose que j'ai pas compris.
quelqu'un aurait il la bonté de faire ce calcul s'il vous plait ?
$\displaystyle{d(u\circ f)(z)=\frac{\partial{u}}{\partial{z}}(f(z))f'(z)dz+\frac{\partial{u}}{\partial{\bar{z}}}(f(z))\overline{f'(z)}}d\bar{z}$
et j'imagine qu'il s'agit un problème de composition de différentielles.
$$\frac{\partial u\circ f}{\partial z}=f' \times ( \frac{\partial u}{\partial z}\circ f )$$
d'où:
$$\frac{\partial}{\partial \bar{z}} (f' \times (\frac{\partial u}{\partial z}\circ f) = \frac{\partial f'}{\partial \bar{z}} \times (\frac{\partial u}{\partial z}\circ f) + f' \times \bar{f'} \times (\frac{\partial^2 u}{\partial \bar{z} \partial z}\circ f)$$
et donc:
$$\Delta (u\circ f) = |f'|^2 \times ( \Delta(u) \circ f) $$
Sauf erreur...
Et puis ton dernier message contient une erreur
au tant pour moi, j'ai zappé le i dans mon post