manipulation d'équivalents

On ne peut pas faire la somme de deux équivalents. Ni la soustraction. Ni le passage à la composition, sauf dans certains cas bien précis.

Salut,

L'équivalence est:
* Compatible avec la multiplication: $c\neq0 , a\sim b\Leftrightarrow c.a\sim c.b$
* Incompatible avec une somme ou une différence.

sauf erreur
HM

le plus simple en cas de doute est à mon avis d'écrire la définition sous cette forme (et de s'y reporter jusqu'à acquérir les automatismes):
$$a(x)\sim_{x\longrightarrow x_0} b(x) \Leftrightarrow a(x)-b(x)=b(x)\epsilon(x)$$
où $\epsilon(x)\longrightarrow_{x\longrightarrow x_0} 0$.
Mais le plus souvent, c'est le sens $\Leftarrow$ de Deufeufeu qu'on utilise.

bonjour,
c'est vrai qu'en général "on ne doit pas" additionner des équivalents mais il y a des cas, assez courants, où c'est "permis".
Si, au voisinage de $a$ ($a$ réel ou $a=\infty$), on a $f_1\sim f_2$ et $g_1\sim g_2$, il résulte immédiatement des définitions que :
\begin{enumerate}
\item si $g_2=o(g_1)$, alors $f_1+f_2\sim g_1$.
\item si on a $g_2\sim \alpha g_1$ (avec $\alpha \neq -1$), alors $f_1+f_2\sim (1+\alpha )g_1$.
\end{enumerate}
En pratique c'est surtout la propriété 2 qui est la plus intéressante (car la première va vraiment de soi). La "philosophie" est -en gros- qu'on peut ajouter (ou soustraire) des équivalents sauf si ça donne $0$.
Ainsi, au voisinage de $0$, $\sin x\sim x$ et $\tan 2x\sim 2x$ donc $\sin x+\tan 2x\sim 3x$.
Mais il est vrai que le conseil qu'on peut donner à un débutant, c'est d'éviter de faire des opérations sur des équivalents et revenir en cas de doute aux opérations sur les développements (qui sont beaucoup plus simples à manier car les développement sont des {\bf égalités}, ce que {\bf ne sont pas} les équivalents).