petit o
bonjour,
Lorqu'on a u(n)=1/(2n)+o(1/n), comment gérer le o(1/n)
Si on note a(n)=o(1/n), cela veut dire que |a(n)|<= (epsilon)*(1/n)
Peut-on dire que la suite u(n) est décroissante et tend vers 0 ?
En fait, je voudrais savoir comment le rédiger rigoureusement avec le petit o.
Merci
Lorqu'on a u(n)=1/(2n)+o(1/n), comment gérer le o(1/n)
Si on note a(n)=o(1/n), cela veut dire que |a(n)|<= (epsilon)*(1/n)
Peut-on dire que la suite u(n) est décroissante et tend vers 0 ?
En fait, je voudrais savoir comment le rédiger rigoureusement avec le petit o.
Merci
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Réponses
l'égalité $u_n=\frac{1}{2n}+o\left( \frac{1}{n} \right ) $ signifie (c'est la définition !) que $u_n\sim \frac{1}{2n}$ quand $n$ tend vers $+\infty $.
Quelque part dans ton cours, il doit y avoir un théorème qui dit que si $u_n\sim v_n$ et si $(v_n)$ admet une limite $\ell$ (réelle ou infinie), alors $(u_n)$ tend vers $\ell $.
conclusion ici: $(u_n)$ converge vers $0$.
Deuxième point: si tu tiens vraiment à montrer que $(u_n)$ est décroissante, il te faut un équivalent de $u_{n+1}-u_n$ (ce qui n'est pas très difficile à obtenir ici).
En fait puisque $\displaystyle{u_n=\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})}$, on peut écrire $\displaystyle{u_n-\frac{1}{2n}=o(\frac{1}{n})}$, et donc pour tout $\epsilon>0$, il existe un $N\in\N$ tel que $\displaystyle{n\geq N\Rightarrow |u_n-\frac{1}{2n}|
PS : j'apprécie ton humour Aleg, et ce dans de nombreux messages...
Comment faire alors ?
Merci de votre réponse.
j'ai écrit plus haut : "Deuxième point: si tu tiens vraiment à montrer que $(u_n)$ est décroissante, il te faut un équivalent de $u_{n+1}-u_n$ (ce qui n'est pas très difficile à obtenir ici)".
Je voulais dire au contraire : "ce qui {\bf est} très difficile à obtenir ici" (et même impossible !), car tu ne nous as donné aucune autre information sur $u_n$ que l'égalité $u_n=\frac{1}{2n}+o\left( \frac{1}{n} \right ) $.
Cette information ne fournit seulement que l'égalité
$$u_{n+1}-u_n=o\left( \frac{1}{n} \right ) $$
(bien comprendre pourquoi !), ce qui ne permet pas de déterminer le signe.
Maintenant, si tu nous donnes la définition de ta suite $(u_n)$, on pourra peut-être t'en dire plus.
Pour enfoncer le clou, même une information du genre $u_n = \frac 1 {2n} + o(\frac 1 {n^2})$ ne permettrait que de montrer que $(u_n)$ est décroissante {\it à partir d'un certain rang}, et pas décroissante tout court, car il ne faut pas oublier que tout ça n'est qu'asymptotique.
Manuel.