Si f est non nulle, il existe un point c avec f(c)>0. Par continuité, il existe un intervalle [A,B] centré en c sur lequel f(x)>=f(c/2)>0. L'ntégrale de la fonction sur [a,b] est >= à L'ntégrale de la fonction sur [A,B] qui est >0 (faites un dessin). Si c= a ou c=b la preuve s'adapte facilement.
Pour la première, si une fonction est continue et positive alors il y a un pt et un voisinage sur lequel la fonction est strictement positive, donc par contraposée, ton résultat.
Pour la deuxième je dirais que c' est toi qui dit dès le départ que $f'(x)=f(2006-x)$ donc je ne comprend pas la question.
Pour ta seconde question tu as $f(x)=f'(2006-x)$ c'est ton hypothèse , ceci étant vrai pour tout $x$ tu l' appliques au point $2006-x$ ce qui donne $f(200-x)=f'(2006-(2006-x))$ ce qui donne bien le résultat que tu voulais
Il faut voir le problème géométriquement : le point d'abscisse $k-x$ sur le graphe de $f$ est le symétrique du point d'abscisse $x$ par la refléxion d'axe la droite verticale d'équation $x=k/2$. Ta relation dit que le produit des ordonnées de deux points correspondants vaut toujours 2. Si tu connais la valeur de $f(x)$, alors tu peux en déduire la valeur de $f(k-x)$. Autrement dit si tu connais les valeurs de $f$ pour un des intervalles $]-\infty,k/2]$ ou $[k/2,+\infty[$, ça te détermine automatiquement les valeurs de $f$ pour l'autre intervalle.
Réponses
On a f'(x)=f(2006-x)
Donc en dérivant, f''(x)=-f'(2006-x)
Pourquoi f'(2006-x)=f(x) ?
Merci
Pour la deuxième je dirais que c' est toi qui dit dès le départ que $f'(x)=f(2006-x)$ donc je ne comprend pas la question.
f'(t)=f(2006-t) s'écrit: f'(2006-x)=f(x)
Ensuite, oui c'est une erreur de ma part.
C'est pourquoi f''(x)=-f'(2006-x)=-f(x)
Merci
Une dernière question :
Lorsque l'on dérive f(x)f(2006-x)=2, cela donne f'(x)f(2006-x)-f(x)f'(2006-x)=0
Mais on ne peut pas simplifier plus f'(2006-x) dans ce cas ?
Merci
$f'(x)^2-f(x)^2=0$
Désolé
Pouvez-vous développer ?
J'essaie de poser t=a-x comme précedemment, mais je n'y arrive pas !
Merci beaucoup
Ma première réaction a été de dériver.
Merci
une autre preuve..
soit f continue et positive sur [a b] et d'integrale nulle sur [a b]:
on a alors F(x) integrale de a à x nulle (x variant de a à b)
(car 0<=F(x)<=F(b)=0)
sa derivée ,qui est egale à f, est donc nulle ..
Oump.
Tu peux aussi chercher $f$ constante.