DL et développement asymptotique

Denissovitch0 · September 2006

bonjour,

Je ne comprend pas trop la différence entre ces deux notions. Bien sûr je connais la définition mais je m'explique:

Voilà quand le prof nous montre comment trouver un développement asymptotique, il ne fait rien d'autre qu'un DL (en 0 généralement), et "miraculeusement" à la fin on tombe sur le développement voulu. (il ne fait jamais le changement de variable).

Je voulais donc comprendre la différence de manipulation sur une meme fonction, pour obtenir un DL(0) ou un développement asymptotique.

Je veux bien des exemples si vous pouvez...
Merci d'avance

borde · September 2006

Pour que l'on soit bien d'accord : un DL, c'est grosso modo une approximation d'une fonction (régulière) par un {\it polynôme}et une estimation suffisamment précise du terme d'erreur au voisinage du point considéré.

On peut avoir besoin :

(i) De se placer dans un autre voisinage que celui de $0$ (par exemple en $\infty$),

(ii) et, surtout, de généraliser les fonctions de comparaisons, les polynômes ne couvrant pas tous les cas de figures.

On parle alors de développement asymptotique (ou de formule asymptotique) dans ces cas-là. Les fonctions logarithmes/exponentielles/puissances se chargeant alors de fournir une base de données pour les différentes échelles de comparaison.*

{\bf Exemple}. {\it Théorème des nombres premiers} (forme forte). Lorsque $x \rightarrow \infty$, on a $$\pi(x) = \frac {x}{\ln x} + O \left ( x e^{-c \sqrt {\ln x}} \right ),$$ avec $c > 0$ constante.

Borde.

Guimauve · September 2006

Salut

Un développement asymptotique de $f$ est un truc du genre
\[ f = a_0 g_0 + a_1 g_1 + ... + a_n g_n + o(g_n) \]
Où les $g_i$ sont des fonctions telles que $g_{i+1}=o(g_i)$. Un tel développement est unique, i.e. si on a par ailleurs
\[ f = b_0 g_0 + b_1 g_1 + ... + b_n g_n + o(g_n) \]
Alors pour tout i, $a_i=b_i$.

Un développement limité est un cas particuliers de développement asymptotiques, où pour tout $i$, $g_i(x) = x^i$.

Sous certaines hypothèses (fonction d'une variable réelle, dérivabilité jusqu'à un certain ordre, etc.) tu peux toujours trouver le développement limité d'une fonction. Si ces hypothèses ne sont pas vérifiées, il te faut >, par exemple essayer de te ramener à une fonction vérifiant ces hypothèses, chercher une échelle asymptotique adaptée (i.e. les $g_i$) et déterminer les coefficients... Il n'y a pas de méthode générale qui marche à tous les coups.

Des outils pratiques sont les développements limités, le théorème de Césaro, les comparaisons série-intégrales, les diverses inégalités que tu connais ...

Guimauve · September 2006

J'en profite pour citer le bouquin de Dieudonné, Calcul infinitésimal, qui est une mine d'or à ce sujet.

Aleg · September 2006

Excellente référence, Guimauve !

GLaG · September 2006

Plus élémentairement, je suppose que le développement asymptotique en question était composé "seulement" de termes en 1/x, 1/x^2, ...
Par exemple, pour la fonction x->(cos x)/x, si on fait un DL à l'ordre 3 en 0 du numérateur, on obtient 1-x^2/2+o(x^3), et donc on peut écrire le développement asymptotique de la fonction : (cos x)/x=1/x - x/2 +o(x^2).

On n'a pas vraiment de choix à faire entre "faire un DL" et "faire un développement asymptotique" : quand on combine par les opérations usuelles des développements limités de fonctions élémentaires, on obtiendra à la fin un développement asymptotique quand on divise un DL de valuation a par un DL de valuation b avec a<b...

jean lismonde · September 2006

bonjour

un développement limité d'une fonction au voisinage de zéro est de la forme

f(x)=a0 + a1.x + a2.x² +.....+an.x^n+.....

un développement asymptotique d'une fonction pour x tendant vers l'infini est de la forme:

f(x)=b0 + b1/x + b2/x² +.........+bn/x^n + .......

exemple pour la fonction Arctangente

son DL au voisinage de zéro est Arctan(x)=x - x^3/3 + x^5/5 -.....

son développement asymptotique pour x tendant vers plus l'infini est:

Arctan(x)=pi/2 - 1/x + 1/(3.x^3) - ........+(-1)^n/[(2n-1).x^(2n-1)]-.....

cordialement

Denissovitch0 · September 2006

Merci jean car c'est justement un exemple comme celui là que je cherchais.

autant pour je sais comment obtenir le DL(0) de arctan(x), autant pour son développement asymptotique...

pourriez vous m'expliquer comment vous obtenez le développement asymptotique de cette fonction ?

(excusez moi de toujours insister)

GLaG · September 2006

On ne pense jamais assez à la relation arctan(x)+arctan(1/x)=pi/2 (pour x>0)...

Guimauve · September 2006

« un développement asymptotique d'une fonction pour x tendant vers l'infini est de la forme:

f(x)=b0 + b1/x + b2/x² +.........+bn/x^n + ....... »

Pas forcément. D'une part, on fait aussi des développements asymptotiques pour des fonctions qui n'admettent pas de limite, et d'autre part il n'y a pas de raison pour que les termes soient en $x^{-i}$. Par exemple, un développement asymptotique au voisinage de l'infini de
\[ n \mapsto \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \]
Est
\[ \frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \sqrt{n} + O(n^{-\frac{1}{2}}) \]

Ici, $n$ est un entier mais ça marche aussi en le prenant réel (il suffit de prendre la somme jusqu'à la partie entière de n).

Aleg · September 2006

j'ajoute à ce qu'a dit Guimauve que :

1) un développement asymptotique d'une fct en $a$ se fait relativement à une échelle de comparaison (= une famille de fcts totalement ordonnée par la relation de négligeabilité au voisinage de $a$) qui, en général, ne se limite pas à l'échelle des puissances.
Au voisinage de $+\infty $ on utilise souvent aussi les puissances-logarithmes $x^{\alpha }(\ln x)^{\beta }$.
Comme l'a déjà dit Guimauve, se reporter à Jean Dieudonné : "calcul infinitésimal" pages 77 et suivantes : tout y est dit, par le maître lui-même...

2) On peut aussi chercher un développement asymptotique d'une fct en un point $a$ différent de l'infini, parce que cette fct n'admet pas de dl en $a$, comme par exemple $\arcsin $ en $a=1$. Cette situation montre bien que la notion de développement asymptotique généralise celle de dl en utilisant une échelle de comparaison plus riche que les puissances entières de la variable.

3) comme je l'ai déjà signalé, Jean Lismonde donne le mauvais exemple aux âmes naïves qui nous lisent en terminant ses développements (limités ou asymptotiques) par de mystérieux points de suspension.
Rappelons qu'il ne s'agit ici en aucun cas de développement en série et qu'un développement (limité ou asymptotique) est toujours une somme finie composée d'une partie régulière (un polynôme si c'est un dl) et un reste en $o(.)$ ou, mieux, en $O(.)$.
Là encore, se reporter à ce sujet à Jean Dieudonné, pages 80-81 de l'ouvrage déjà cité.

T ! T O R · September 2006

Bonjour,

Je m'interesse aussi aux développements limités, mais seulement j'accuse un manque cruel de support d'étude. Comme l'a indiqué Guimauve Calcul infinitésimal de Dieudonné est une véritable mine d'or! Seulement malgré mes recherches je n'arrive pas à me le procurer!Auriez vous une autre réference?

Merci d'avance

Cordialement

T ! T O R