si je considère l'espace vectoriel des applications continues de [0,1] dans $\R$ (noté C([0,1],$\R$))
la suite d'éléments de C([0,1],$\R$) définie par: pout tout x de [0,1], $f_n$(x)=$x^n/n$
je connais une norme pour laquelle cette suite tend vers 0 disons $N_1$
et une norme pour laquelle cette suite tend vers 1 disons $N_2$
(déja vu en exo)
mais alors $N_2$ n'est pas continue en 0 puisqu'il existe une suite d'éléments (la suite $f_n$) de C([0,1],$\R$) qui tend vers 0 (au sens de $N_1$) mais
$N_2$($f_n$) ne tend pas vers 0.
où est le problème?
D'abord la suite ne tend sûrement pas vers 1, mais c'est la suites des normes qui tend vers 1, très différents. Et quel rapport avec la continuité de la norme ?
Je te rappelle, si besoin est, qu'une norme est une application qui va d'un espace vectoriel $E$ vers $\R_+$. Pour parler de sa continuité, il faut avoir préalablement défini une topologie, ou du moins une distance, sur $E$. Et comment définit-on cette distance ? Dans le cas d'un espace normé, avec une norme !
Conclusion : quand on dit "telle norme est continue", il faut préciser par rapport à quelle norme. Les réponses précédentes montrent qu'une norme est toujours continue par rapport à elle-même. Mais si on parle de deux normes différentes, a priori il n'y aucune raison pour que l'une soit continue par rapport à l'autre. Est-ce cela qui te pose problème ?
En dimension finie toutes les normes sont équivalentes donc en particulier continues les unes par rapport aux autres. C'est en dimension infinie qu'on va rencontrer des problèmes. L'exemple que tu as donné est valable, sur $E=C([0,1],\R)$ on définit $N_2(f)=\sqrt{\int_0^1 f^2}$ et $N_{\infty}(f)=\sup_{[0,1]} |f|$. Alors $N_2$ est continue par rapport à $N_{\infty}$ (je te laisse le soin de le montrer) mais pas l'inverse (tu as fourni un contre-exemple mais tu devrais le rédiger très proprement). Par conséquent toutes les fonctions de $E$ vers un autre espace qui sont continues pour la norme $N_{\infty}$ seront continues pour la norme $N_2$ mais la réciproque est fausse.
"Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, en particulier $ R$ est un ev de dimension 1, donc ... ?"
Je fais le chieur mais c'est faux.
Ok sur un $\R$ espace vectoriel, mais faux sur un $\Q$ espace vectoriel (car il n'est pas complet!).
Oui enfin juste une question, c'est quoi une norme sur un $\Q$-ev?
Parce que, bon, ça serait quand même naturel de demander qu'une telle norme soit à valeurs dans $\Q^+$, auquel cas aucun $\R$-ev n'admet une $\Q$-norme non triviale.
Autrement dit, quand on parle de norme en analyse, on parle toujours de $\R$ ou de $\C$-evs (sauf peut-être cas très particuliers dans certaines recherches ésotériques, j'imagine, mais alors il faut faire attention à ce qu'on raconte...), et il y a une raison...
Il me semble que pour la norme p-adique, la suite $\frac{1}{p^k}$ tend vers $+\infty$.
C'est un peu ésotérique comme truc, mais il y a des gens (pas moi) qui bossent dessus.
Autre exemple plus simple, sur $\Q[\sqrt{5}]$, on peut définir $\|a+b\sqrt{5}\|$ comme $|a|+|b|$ ou ${|}a+b\sqrt{5}{|}$, dans les deux cas on a une norme, mais la suite $(1-\sqrt{5})^n$ tend vers $\infty$ pour la première et $0$ pour la seconde, sauf erreur.
Evidemment !
On ne peut pas parler de convergence sans avoir une topologie et dans le cas présent celle-ci est définie par une norme.
Si on change de norme, a priori, on change de topologie et donc (toujours a priori) on change de limite... voire on perd la convergence.
Bah oui, Q, pas complet, tout ça, mais on complete, ça fait $Q_p$, ou $\bar Q$, le premier est un corps de caractéristique p, c'est ça qui est génial! Après, on fait de la théorie du corps de classe ou même des réseaux p-adiques : c'est comme les réseaux des R-ev, mais disons que d'abord on transporte des définitions dans les Q-ev (sous-groupes discrets, attention, pièges car topologie bizarre, il faut le voir comme groupes de type fini, puis on complête).
Le second est en fait une compactification de Q : si on interprete le fait de compactifier comme le fait de rajouter une unité à un anneau non unitaire (rappel : à un espace topologie localement compact on associe l'algèbre de ses fonctions continues, l'algèbre n'a pas forcement d'unité mais en en rajoutant une on obtient l'algèbre des fonctions continues sur le compactifié, d'ou ma remarque). Alors, un $\bar{Q}$-espace vectoriel est un espace vectoriel sur un corps compact ! Pouvez-vous imaginer cela ?! Moi j'ai mis longtemps mais maintenant je maitrise bien cette notion, par exemple, comme le corps est compact, on peut quand me^me aoir de la torsion alors que normalement c'est interdit par les axiomes des espaces vectoriels !! pour un vecteur V, la suite (nV) a une valeur d'adhérence par compacité. Faut e voir pour le croire.
C'est pas parce que $\Q$ s'injecte dedans que c'est pas de caractéristique p... et puis on dit p-adique par ce que justement c'est modulo p. Tu dois confondre. Par exemple, $\Q$ s'injecte dans la cloture algébrique de $F_p$. C'est du niveau licence. Le malentendu est-il dissipé ou as-tu d'autres questions ?
C'est pas parce que $\Q$ s'injecte dedans que c'est pas de caractéristique $p$... et puis on dit $p-adique$ par ce que justement c'est modulo $p$. Tu dois confondre. Par exemple, $\Q$ s'injecte dans la clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$. C'est du niveau licence. Le malentendu est-il dissipé ou as-tu d'autres questions ?
d'une part, ton $l$ défini par $l(x) = 0$ si $x \in [0;1[$ et $l(1) = 1$ n'est pas un polynôme, donc $\| x_n - l \|$ n'a aucun sens avec $\|.\|$ définie sur $\R[X]$. pour lui en donner un, il faut se placer dans l'espace $\mathcal{B}([0;1])$ des fonctions bornées sur $[0;1]$ sur lequel la norme du sup peut aussi être définie. Mais alors $x_n$, vue comme suite de $\mathcal{B}([0;1])$, ne converge pas vers ton $l$ car $\|x_n - l\| = 1$ pour tout $n$.
faut-il utiliser le fait que || || comme je l'ai définie est la restriction de la norme définie sur l'ensemble des fonctions bornées sur [0,1] comme vous l'avez définie?
monrtrer que $x_n$ n'est pas de Cauchy ne sera pas suffisant puisque par exemple, la suite $(-1)^n$ n'est pas de Cauchy mais admet une suite extraite convergente .
Si on veut utiliser les suites de Cauchy, on peut dire que $\forall\,n,\exists\, x_n:x_n ^n=\frac{2}{3}$, et puisque $x_n^{n+p}\rightarrow_p 0$, on a pour $p$ assez grand $\|x^{n+p}-x^n\|_{\infty}\geq \frac{1}{2}$ (ce raisonnement suffit à prouver qu'aucune sous suite ne converge, pourquoi?)
Une autre méthode plus rapide est de procéder par l'absurde, en notant que si $x^{n_k}$ converge vers $P$, on a $P=0$ sur l'intervalle $[0,1/2]$, et donc $P=0$ puisqu'il n'a qu'un nombre fini de racines ou est nul.
Et comme $1^n=1$, cela contredit la convergence uniforme.
Pour jahfi : selon mes vieux souvenirs il me semble qu'une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente (vers la même limite :-) )!
Réponses
une application qui à un élément (d'un espace vectoriel) associe sa norme
est-elle toujours continue?
$\left|~||y||-||x||~\right| \leq ||y-x||$.
la suite d'éléments de C([0,1],$\R$) définie par: pout tout x de [0,1], $f_n$(x)=$x^n/n$
je connais une norme pour laquelle cette suite tend vers 0 disons $N_1$
et une norme pour laquelle cette suite tend vers 1 disons $N_2$
(déja vu en exo)
mais alors $N_2$ n'est pas continue en 0 puisqu'il existe une suite d'éléments (la suite $f_n$) de C([0,1],$\R$) qui tend vers 0 (au sens de $N_1$) mais
$N_2$($f_n$) ne tend pas vers 0.
où est le problème?
J'aimerais savoir :
Existe-t-il une norme pour laquelle la suite $ u_n=1/n$ où $ n\in\mathbb{N}$ ne converge pas vers 0 ?
Je te rappelle, si besoin est, qu'une norme est une application qui va d'un espace vectoriel $E$ vers $\R_+$. Pour parler de sa continuité, il faut avoir préalablement défini une topologie, ou du moins une distance, sur $E$. Et comment définit-on cette distance ? Dans le cas d'un espace normé, avec une norme !
Conclusion : quand on dit "telle norme est continue", il faut préciser par rapport à quelle norme. Les réponses précédentes montrent qu'une norme est toujours continue par rapport à elle-même. Mais si on parle de deux normes différentes, a priori il n'y aucune raison pour que l'une soit continue par rapport à l'autre. Est-ce cela qui te pose problème ?
En dimension finie toutes les normes sont équivalentes donc en particulier continues les unes par rapport aux autres. C'est en dimension infinie qu'on va rencontrer des problèmes. L'exemple que tu as donné est valable, sur $E=C([0,1],\R)$ on définit $N_2(f)=\sqrt{\int_0^1 f^2}$ et $N_{\infty}(f)=\sup_{[0,1]} |f|$. Alors $N_2$ est continue par rapport à $N_{\infty}$ (je te laisse le soin de le montrer) mais pas l'inverse (tu as fourni un contre-exemple mais tu devrais le rédiger très proprement). Par conséquent toutes les fonctions de $E$ vers un autre espace qui sont continues pour la norme $N_{\infty}$ seront continues pour la norme $N_2$ mais la réciproque est fausse.
Je fais le chieur mais c'est faux.
Ok sur un $\R$ espace vectoriel, mais faux sur un $\Q$ espace vectoriel (car il n'est pas complet!).
Parce que, bon, ça serait quand même naturel de demander qu'une telle norme soit à valeurs dans $\Q^+$, auquel cas aucun $\R$-ev n'admet une $\Q$-norme non triviale.
Autrement dit, quand on parle de norme en analyse, on parle toujours de $\R$ ou de $\C$-evs (sauf peut-être cas très particuliers dans certaines recherches ésotériques, j'imagine, mais alors il faut faire attention à ce qu'on raconte...), et il y a une raison...
C'est un peu ésotérique comme truc, mais il y a des gens (pas moi) qui bossent dessus.
Autre exemple plus simple, sur $\Q[\sqrt{5}]$, on peut définir $\|a+b\sqrt{5}\|$ comme $|a|+|b|$ ou ${|}a+b\sqrt{5}{|}$, dans les deux cas on a une norme, mais la suite $(1-\sqrt{5})^n$ tend vers $\infty$ pour la première et $0$ pour la seconde, sauf erreur.
l dépend-il de la norme choisie?
On ne peut pas parler de convergence sans avoir une topologie et dans le cas présent celle-ci est définie par une norme.
Si on change de norme, a priori, on change de topologie et donc (toujours a priori) on change de limite... voire on perd la convergence.
Le second est en fait une compactification de Q : si on interprete le fait de compactifier comme le fait de rajouter une unité à un anneau non unitaire (rappel : à un espace topologie localement compact on associe l'algèbre de ses fonctions continues, l'algèbre n'a pas forcement d'unité mais en en rajoutant une on obtient l'algèbre des fonctions continues sur le compactifié, d'ou ma remarque). Alors, un $\bar{Q}$-espace vectoriel est un espace vectoriel sur un corps compact ! Pouvez-vous imaginer cela ?! Moi j'ai mis longtemps mais maintenant je maitrise bien cette notion, par exemple, comme le corps est compact, on peut quand me^me aoir de la torsion alors que normalement c'est interdit par les axiomes des espaces vectoriels !! pour un vecteur V, la suite (nV) a une valeur d'adhérence par compacité. Faut e voir pour le croire.
C'est vraiment génial les maths
si on considère $\R$[X] muni de la norme:|| ||:P associe sup P(X) sur [0,1]
la suite $x_n$ telle que $x_n$ = $X^n$
la limite d'une suite est bien définie par:
il existe l tq pour tout $\varepsilon$>0 il existe N tq n>N
entraine ||$x_n$-l||
mais alors comment fait-on pour montrer que $\R$[X] muni de la norme:|| ||:P associe sup P(X) sur [0,1],
n'est pas compact ?
Une autre méthode plus rapide est de procéder par l'absurde, en notant que si $x^{n_k}$ converge vers $P$, on a $P=0$ sur l'intervalle $[0,1/2]$, et donc $P=0$ puisqu'il n'a qu'un nombre fini de racines ou est nul.
Et comme $1^n=1$, cela contredit la convergence uniforme.
"$\forall\,n,\exists\, x_n:x_n ^n=\frac{2}{3}$, et puisque $x_n^{n+p}\rightarrow_p 0$, "