espaces normés

D'abord la suite ne tend sûrement pas vers 1, mais c'est la suites des normes qui tend vers 1, très différents. Et quel rapport avec la continuité de la norme ?


Je te rappelle, si besoin est, qu'une norme est une application qui va d'un espace vectoriel $E$ vers $\R_+$. Pour parler de sa continuité, il faut avoir préalablement défini une topologie, ou du moins une distance, sur $E$. Et comment définit-on cette distance ? Dans le cas d'un espace normé, avec une norme !


Conclusion : quand on dit "telle norme est continue", il faut préciser par rapport à quelle norme. Les réponses précédentes montrent qu'une norme est toujours continue par rapport à elle-même. Mais si on parle de deux normes différentes, a priori il n'y aucune raison pour que l'une soit continue par rapport à l'autre. Est-ce cela qui te pose problème ?


En dimension finie toutes les normes sont équivalentes donc en particulier continues les unes par rapport aux autres. C'est en dimension infinie qu'on va rencontrer des problèmes. L'exemple que tu as donné est valable, sur $E=C([0,1],\R)$ on définit $N_2(f)=\sqrt{\int_0^1 f^2}$ et $N_{\infty}(f)=\sup_{[0,1]} |f|$. Alors $N_2$ est continue par rapport à $N_{\infty}$ (je te laisse le soin de le montrer) mais pas l'inverse (tu as fourni un contre-exemple mais tu devrais le rédiger très proprement). Par conséquent toutes les fonctions de $E$ vers un autre espace qui sont continues pour la norme $N_{\infty}$ seront continues pour la norme $N_2$ mais la réciproque est fausse.

Oui enfin juste une question, c'est quoi une norme sur un $\Q$-ev?
Parce que, bon, ça serait quand même naturel de demander qu'une telle norme soit à valeurs dans $\Q^+$, auquel cas aucun $\R$-ev n'admet une $\Q$-norme non triviale.
Autrement dit, quand on parle de norme en analyse, on parle toujours de $\R$ ou de $\C$-evs (sauf peut-être cas très particuliers dans certaines recherches ésotériques, j'imagine, mais alors il faut faire attention à ce qu'on raconte...), et il y a une raison...

Pour corentin, quand je parle de $\R$ en tant qu'ev de dimension 1, il est implicite que je le considère comme $\R$-espace vectoriel ;-)

Je crois bien que $\Q_{p}$ n'a rien d'un corps de caractéristique $p$ ($\Q$ s'y injecte tout de même !)

C'est pas parce que $\Q$ s'injecte dedans que c'est pas de caractéristique $p$... et puis on dit $p-adique$ par ce que justement c'est modulo $p$. Tu dois confondre. Par exemple, $\Q$ s'injecte dans la clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$. C'est du niveau licence. Le malentendu est-il dissipé ou as-tu d'autres questions ?

Désolé ababapunia mais Alp a raison, les $\Q_p$ sont des corps de caractéristique nulle.

d'une part, ton $l$ défini par $l(x) = 0$ si $x \in [0;1[$ et $l(1) = 1$ n'est pas un polynôme, donc $\| x_n - l \|$ n'a aucun sens avec $\|.\|$ définie sur $\R[X]$. pour lui en donner un, il faut se placer dans l'espace $\mathcal{B}([0;1])$ des fonctions bornées sur $[0;1]$ sur lequel la norme du sup peut aussi être définie. Mais alors $x_n$, vue comme suite de $\mathcal{B}([0;1])$, ne converge pas vers ton $l$ car $\|x_n - l\| = 1$ pour tout $n$.

peux-tu extraire de ta suite $x_n$ une sous-suite qui converge dans $\R[X]$ ?

faut-il utiliser le fait que || || comme je l'ai définie est la restriction de la norme définie sur l'ensemble des fonctions bornées sur [0,1] comme vous l'avez définie?

monrtrer que $x_n$ n'est pas de Cauchy ne sera pas suffisant puisque par exemple, la suite $(-1)^n$ n'est pas de Cauchy mais admet une suite extraite convergente .

Pour jahfi : selon mes vieux souvenirs il me semble qu'une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente (vers la même limite :-) )!

$\forall=$ pour tout, $\exists=$ il existe, $\rightarrow_p=$ a pour limite lorsque $p$ tends vers $+\infty$.