équadiff
bonjour,
j'ai un probleme avec l'equation différentielle suivante, vérifiant:
y" + ky = 0
y(0) = 0
y' (T) + my(T) = 0
où y est définie sur [0,T] et où k,m et T sont des réels
je dois montrer que les solutions non nulles sont les élément d'une certaine suite $Tk_n$
ce que j'ai fait:
j'ai exprimé les solution de la premiere équation différentielle (A cos(kt) + B sin(kt) )
mais je ne vois pas comment continuer, je percois bien qu'il y a une notion d'intervalles pour les solutions mais je ne trouve pas les bons...
merci pour votre aide
j'ai un probleme avec l'equation différentielle suivante, vérifiant:
y" + ky = 0
y(0) = 0
y' (T) + my(T) = 0
où y est définie sur [0,T] et où k,m et T sont des réels
je dois montrer que les solutions non nulles sont les élément d'une certaine suite $Tk_n$
ce que j'ai fait:
j'ai exprimé les solution de la premiere équation différentielle (A cos(kt) + B sin(kt) )
mais je ne vois pas comment continuer, je percois bien qu'il y a une notion d'intervalles pour les solutions mais je ne trouve pas les bons...
merci pour votre aide
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La seconde condition sécrit:
k*cos(kT)+m*sin(kT)=0, soit encore:tg(kT)=-k/m
Votre phrase n'est pas claire:"je dois montrer que les solutions non nulles sont les élément d'une certaine suite Tk(n)". Que cherchez vous exactement?
quant aux hypothèses, j'étais arrivé au même endroit que vous.
Il me semble que Richard a résolu l'équation $y''+k^2y=0$ et pas $y''+ky=0$ m'enfin ce n'est qu'un détail. Cette fiistoire de suite est très bizarre, parce que comme l'a montré Richard, une équation du second ordre + deux conditions aux limites = une seule solution. Il n'y aurait pas un paramètre variable dans l'histoire ? au hasard, $m$ ?
Tout d'abord Egoroff, on n'est pas dans le cas d'une condition de Cauchy donc on n'est pas sûr de l'unicité de la solution (et heureusement car la fonction nulle convient !)
Ensuite, $\tan(kT)=-\frac{k}{m}$ donne $\exists n \in \Z, kT=-\arctan(\frac{k}{m})+n\pi$
Par conséquent, l'équa diff admet des solutions non nulles uniquement pour les valeurs $k_n$ vérifiant l'équation précédente pour une certaine valeur de $n$ (et on a bien $k_nT \in [-\frac{\pi}{2}+n\pi;\frac{\pi}{2}+n\pi]$)