(TS) où est la difficulté ?

huiledevidange0 · November 2006

Bonjour,

Je vous soumets un pb car j'ai beau lire l'énoncé dans tous les sens, je ne vois pas où réside la difficulté (pb niveau TS)

Un marcheur parcourt 12 km en 1 heure. Le but de l'exo est de déterminer un intervalle d'une demi heure pendant lequel il parcourt exactement 6 km (je crois que je n'arrive pas bien à comprendre cette phrase).

Soit f la fonction définie et continue sur [0;1] telle que f(t) représente le nombre de km parcourus en t heures

1) Soit g(t)= f(t+0.5) - f(t), g définie sur [0; 0.5], justifier que g est continue sur cet intervalle (là ça va) et démontrer que g(0)+g(0.5)=12 (là aussi ça va)

2) A l'aide du théo des valeurs intermédiaires, montrer qu'il existe un to dans [0;0.5] tel que g(to)=6 et conclure

Voilà mon pb : d'après la def de f, on a f(t)=12 t non ? D'où g(t)=6... Et du coup pas besoin du TVI. J'ai sûrement mal interprété l'énoncé alors si une âme charitable pouvait me mettre sur le (droit) chemin

Merci, merci

Menagex · November 2006

Bonjour huiledevidange,

C'est un problème assez classique (il se retrouve d'ailleurs dans le tome d'anlyse de K. Madère - Leçons d'agrégation)

L'erreur que tu fais est celle-ci : f(t)=12 t. Et non ! tu supposes que la vitesse est constante, ce qui n'est pas une donné de l'énoncé. On sait juste qu'il parcourt 12 km en une heure, mais il y a des montées où il ralentit, il s'arrête au refuge pour faire une pause....

Voilà !

CQFD · November 2006

Comme $f(0)=0$, $f(1)=12$, il vient : $g(0)+g(0.5)=12$
Il vient : $6=\dfrac{g(0)+g(0.5)}{2}$.
Si on suppose que $g(0)

bs1 · November 2006

Il n'est pas dit que ton marcheur marche à vitesse constante, il a même le droit de s'arrêter ; sinon, ton marcheur possède un bon rythme.

huiledevidange0 · November 2006

Merci infiniment pour des réponses aussi rapides!

Question subsidiaire: l'égalité v= d/t n'est valable donc que pour v constante? je ne ne savais pas

grandwazoo · November 2006

La vitesse est définie comme la dérivée de la position par rapport au temps. On retrouve ta formule si le mouvement est uniforme (i.e. v constante)

huiledevidange0 · November 2006

Encore une petite question: à quoi sert la relation 6=[g(0)+g(0.5)]/2 ?

A montrer que 6 est le milieu de g(0) et de g(0.5) donc est entre g(0) et g(0.5) ?

Aleg · November 2006

1) "Encore une petite question: à quoi sert la relation 6=[g(0)+g(0.5)]/2 ?
A montrer que 6 est le milieu de g(0) et de g(0.5) donc est entre g(0) et g(0.5) ?"

oui.

2) je rebondis sur la remarque de bs : faire 12 km en une heure en marchant (donc sans courir..), c'est fort !

3) enfin, petite question subsidiaire (qui n'est pas mathématique à proprement parler) pour huiledevidange : pourquoi suppose-t-on $f$ continue ? (à part le fait que sans cette hypothèse l'exercice n'est pas faisable..).

huiledevidange0 · November 2006

si f n'était pas continue, g ne serait pas non plus continue et 6 n'aurait pas forcément d'antécédent to par g non

bs1 · November 2006

bonsoir à tous,

nouvelle question:
Notre marcheur est parti ce midi du village A pour se rendre à B , distant de 12kms ,et arriver à 13 heures.
Demain trajet en sens inverse : départ midi et arrivée à A à 13 heures.
Le trajet de notre marcheur est chaotique : arrêts, course, retour en arrière, accélérations,...

Existe-t-il un endroit situé sur le parcours où notre ami se trouvera à la même heure, aujourd'hui et demain ?

CQFD · November 2006

Réponse : oui !
Soient $f$ et $g$ les fonctions qui, à l'heure $t$, sont égales à la distance entre le marcheur et la ville $A$, le premier et le second jour respectivement
On a : $f(12)=g(13)=0$.
De plus $f(12)-g(12)0$.
Par le TVI, il existe $t_0\in[12;13]$ annulant la fonction (continue) $f-g$ d'où le résultat.

Le barbu rasé · November 2006

si f n'était pas continue, g ne serait pas non plus continue et 6 n'aurait pas forcément d'antécédent to par g non
 
 
 Je pense que ce n'est pas la réponse qu'attendait Aleg.
 D'après moi, sa question portait plutôt sur la pertinence "physique" des hypothèses.
 Un indice : si le marcheur était Sangoku, il n'y aurait aucune raison de supposer f continue.

bs1 · November 2006

Bonsoir CQFD ,comme d'habitude , très élégant : je ne connaissais que la solution graphique, lue un jour dans un journal américain ,et qui ne m'avait pas franchement emballé.
Ton pseudo te convient à merveille.
Merci.

Aleg · November 2006

barbu tu es tombé pile-poil (si j'ose dire..), c'était exactement le sens de ma question : faire réfléchir notre ami huiledevidange sur la modélisation mathématique d'un phénomène physique.

Effectivement, donc, si (en "première approximation", comme disent les physiciens) on suppose que le chemin parcouru $f(t)$ est une fct continue de $t$, c'est parce qu'on n'est pas dans un épisode de Star-Trek, puisqu'a priori on n'a jamais vu un marcheur passer instantanément d'un endroit à un autre (avec tout l'implicite que charrie ce genre de phrase... comme, entre autres, le fait que le temps soit représenté un nombre réel !!).

Il faut donc bien se rendre compte de l'importance de telles hypothèses (qui relèvent donc ici de la mathématisation d'une situation simple dans le cadre de la cinématique classique) dans notre façon de comprendre le réel :

- remplacez le déplacement par la vitesse et déjà les complications arrivent : il y a longtemps que les physiciens ont compris que la notion de fct conitnue est insuffisante et ont inventé ce qu'on appelle aujourd'hui des distributions.

- bien pire : remplacez le marcheur par un électron qui se balade dans un transistor tellement petit qu'il ne peut plus résister à l'effet tunnel (ce qui arrivera bientôt dans nos ordinateurs). Les effets quantiques réduisent alors à de simples billevesées l'idée qu'un "objet" ne peut être à deux endroits différents à la fois...

Ceci dit, pas de panique.. : dans l'exemple du marcheur, la vérification expérimentale (qui est l'alpha et l'omega de tout physicien qui se respecte..) ne pose pas de problème, à condition d'avoir de bonnes jambes...

Chaurien · December 2019

Voir : théorème de la corde universelle / universal chord theorem.
L'ensemble des $c\in ]0,1[$ tels que pour toute fonction réelle $f$ continue sur $[0,1]$, avec $f(0)=f(1)$, il existe $\xi \in [0,1-c] $ tel que $f(\xi+c)=f( \xi)$, est exactement l'ensemble des $\frac 1n, n \in \mathbb N, n \ge 2$.
J'envoie des détails dès que je les retrouve dans mon foutoir.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

gerard0 · December 2019

Heu ... le sujet date de 2006/2007, la dernière intervention (Aleg) aussi ...

Chaurien · December 2019

Pour le problème initial, j'avais vu ça il y a longtemps dans : G. Gamow et M. Stern, Jeux mathématiques, Dunod 1959, dans une belle collection de mathématiques récréatives où j'ai fait en partie mon instruction mathématique de lycéen. Traduction française de Puzzle-Math, Viking Press, 1958, qu'on trouve ici : http://www.arvindguptatoys.com/arvindgupta/puzzlemath.pdf. C'est en p. 56 de l'édition française (Les pigeons voyageurs) dans le chapitre 3 (Le cheminot). C'est en p. 27 de l'éditon d'origine (The carieer pigeons) dans le chapitre 3 (The railroad man). C'était juste un exemple.

J'ai retrouvé ce problème dans un livre que j'aime beaucoup : A. M Yaglom and I. M. Yaglom, Challenging Mathematical Problem Book with Elementary Solutions, Vol. II ; Probems from Various Branches of Mathematics, University of Chicago 1967, Dover 1987. C'est au § IV, A Property of Reciprocals of Integers, n° 119, p. 11, p. 202, p. 78. Ici c'est mieux car il prouve la réciproque.

Je l'avais posé dans Le petit Archimède, PB 30, PA 19, septembre 1975, solution dans le PA 21-22, décembre 1975, sur un exemple avec un contre-exemple.

On le retrouve dans : Ralph P. Boas, Jr., A primer of real functions, MAA 1981, p. 92.

Et il y a d'autres références qu'on trouve avec une recherche sur : théorème de la corde universelle / universal chord theorem, notamment les notices Wikipedia.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Chaurien · December 2019

Quant au problème posé par bs, je l'ai posé aussi dans Le Petit Archimède, PB 19, PA 12, janvier 1975, solution dans le PA 15-16, mai 1975, commentaire supplémentaire dans le PA 19, septembre 1975. Une solution simple consiste à imaginer que le lendemain un marcheur 2 va reproduire exactement le trajet que le marcheur 1 a fait la veille, avec la même loi horaire. Il croisera forcément le marcheur 1, une seule fois si le marcheur ne revient jamais en arrière.
Maintenant on peut aussi mathématiser, et le théorème des valeurs intermédiaires donne la réponse.
Mais j'ai oublié l'origine de ce problème.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

(TS) où est la difficulté ?

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