Inégalité

piRo0
piRo0
dans Analyse
Bonjour,

J'ai une suite complexe $(a_n)$ et j'aurais besoin de montrer que $\displaystyle{|\prod_{i=1}^n (1+a_i) - 1 | \leq \prod{i=1}^n (1 + |a_i|) - 1}$. Ca doit être un truc assez classique, alors j'ai essayé de bidouiller avec l'inégalité triangulaire, mais ça s'y prète plutôt mal à cause du signe $-$. Ca me semble aussi malaisé de passer au log à cause du $-1$ qui traine. Si quelqu'un à une idée...

Merci d'avance.

Réponses

  • piRo0
    piRo0
    Oups, erreur de LaTeX, excusez moi.

    L'inégalité :

    $\displaystyle{|\prod_{i=1}^n (1+a_i) - 1 | \leq \prod_{i=1}^n (1 + |a_i|) - 1}$.

    Si un modérateur veut bien réparer ma bourde.

    Encore merci.
  • SadYear
    SadYear
    Bonjour PiRo,

    Ca a l'air de passer tout seul avec une récurrence... as-tu exploré cette piste ?
  • Yalcin
    Yalcin
    Bonjour

    Posons $p\left( n \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + a_i } \right)} $ et $g\left( n \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \left| {a_i } \right|} \right)} $ pour alléger les écritures.

    Initialisation : à toi de le faire

    Hérédité : supposons qu'on ait $\left| {p\left( n \right) - 1} \right| \leq g\left( n \right) - 1$

    Déjà en utilisant la définition de p(n) et l'I.T on obtient :

    $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| = \left| {p\left( n \right)\left( {1 + a_n } \right) - 1} \right| = \left| {p\left( n \right) - 1 + a_n p\left( n \right)} \right| \leqslant \left| {p\left( n \right) - 1} \right| + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right|$

    Donc $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| \leqslant \left| {p\left( n \right) - 1} \right| + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right| \leqslant g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right|$

    Comme $\left| {1 + a_i } \right| \leqslant \left( {1 + \left| {a_i } \right|} \right) \Rightarrow \prod\limits_{i = 1}^n {\left| {1 + a_i } \right|} \leqslant \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \left| {a_i } \right|} \right)} \Rightarrow \left| {p\left( n \right)} \right| \leqslant g\left( n \right)$

    Donc $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| \leqslant g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right| \leqslant g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times g\left( n \right)$

    Or $g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times g\left( n \right) = g\left( n \right)\left( {1 + \left| {a_n } \right|} \right) - 1 = g\left( {n + 1} \right) - 1$

    D'où $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| \leqslant g\left( {n + 1} \right) - 1$

    Donc la propriété que j'ai oublié de préciser (que tu peux préciser toit même) est vraie pour le rang n+1.

    Donc la propriété est vraie poru tout n ,etc...

    Cordialement Yalcin
  • oumpapah2
    oumpapah2
    Bonsoir

    indication

    " detricoter, majorer ,retricoter"

    si ça ne suffit pas je le ferai pour n=3 pour expliciter la methode..

    Oump.
  • Yalcin
    Yalcin
    initialisation : on a bien sur |a_1|=|a_1| , donc |a_1|<=|a_1| , d'où :
    |p(1)-1|<=g(1)-1
    , d'où la propriété est vraie pour n=1 :-)
  • Philou le cocker
    Philou le cocker
    lol , j adore l intervention de oumpapah ... ca me rappelle mon premier prof a l université ... peu de mots employés mais avec une grande efficacité !

    Cocker admiratif
  • piRo0
    piRo0
    Oups excusez moi, j'ai été loin de mon pc pendant quelques temps.

    Ma flemingite aigue m'avait fait oublier la possibilité de la récurrence qui marchait bien ici. Merci Yalcin & SadYear.

    Oump, tu as une méthode sans récurrence ? Je dois t'avouer que le tricot n'est pas vraiment mon truc...j'ai essayé de regarder un peu ce que tu voulais dire mais ça reste assez obscur pour mes yeux de profane :) Si tu pouvais effectivement détailler le cas $n=3$, ça m'aiderait peut-être.

    Merci encore.

    P.S. Suis-je le seul chez qui le forum est dramatiquement lent ?? Que ce passe-t-il? (Il me faut environ 3 minutes pour afficher la première page du forum, et guère moins à chaque changement de page).
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