point fixe
dans Analyse
Où trouver la (ou une) démonsration du théorème suivant:
Toute fonction 1-Lipschitzienne sur un compact convexe d'un espace de Banach admet un point fixe.
Merci pour tout éclairage!
Toute fonction 1-Lipschitzienne sur un compact convexe d'un espace de Banach admet un point fixe.
Merci pour tout éclairage!
Réponses
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Tu connais le théorème du point fixe pour les applications contractantes (lipschitziennes de rapport <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="28" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/1/100559/cv/img1.png" ALT="$ <1$"></SPAN>) ?
<BR>Un début d'indication : trouver une suite de fonctions contractantes <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="32" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/1/100559/cv/img2.png" ALT="$ (f_n)$"></SPAN> qui converge simplement vers <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/1/100559/cv/img3.png" ALT="$ f$"></SPAN>, appliquer le théorème du point fixe aux <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="19" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/1/100559/cv/img4.png" ALT="$ f_n$"></SPAN> (se souvenir que « compact <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/1/100559/cv/img5.png" ALT="$ \Rightarrow$"></SPAN> complet »), ...<BR> -
c'est faux : prendre $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x+1$.
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Effectivement, il faut préciser que l'application envoie le compact dans lui même.
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On note $K$ le compact convexe considéré.
Soit $x_{0}\in\K$. On introduit la fonction $f_{n}(x)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)f(x)+\dfrac{1}{n}f(x_{0})$.
Par convexité, $f_{n}(x)\in K$ pour tout $x\in K$.
$f_{n}$ est $1-\dfrac{1}{n}$ lipschitzienne.
On en déduit que $f_{n}$ admet un unique point fixe $x_{n}$.
Par compacité on peut extraire de $(x_{n})$ une sous suite convergente dont la limite est le point fixe de $f$... -
hormis le fait que fn tend vers f et que fn est (1-1/n) lipschtizienne, donc admet un point fixe, j'ai du mal à conclure
merci pour tout détail supplémentaire -
quitte à extraire de $(x_n)$ une sous-suite convergente, je suppose que $x_n$ converge vers $x$.
On peut majorer ainsi : $\|x-f(x)\|\le\|f(x)-f(x_n)\|+\|f(x_n)-f_n(x_n)\|+\|f_n(x_n)-x_n\|+\|x_n-x\|=
\|f(x)-f(x_n)\|+\|f(x_n)-f_n(x_n)\|+\|x_n-x\|$
chaque quantité tend vers $0$, la première par continuité de $f$, la deuxième par convergence uniforme de $f_n$ vers $f$, la seconde car $x_n$ tend vers $x$. -
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CELLPADDING="0" WIDTH="100%" ALIGN="CENTER"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="78" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/4/100749/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline \Vert x-f(x)\Vert$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="468" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/4/100749/cv/img2.png" ALT="$\displaystyle \le\Vert f(x)-f(x_n)\Vert+\Vert f(x_n)-f_n(x_n)\Vert+\Vert f_n(x_n)-x_n\Vert+\Vert x_n-x\Vert$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT"> </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/4/100749/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="348" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/4/100749/cv/img4.png" ALT="$\displaystyle \leq \Vert f(x)-f(x_n)\Vert+\Vert f(x_n)-f_n(x_n)\Vert+\Vert x_n-x\Vert
\newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT"> </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL"><P></P><BR> -
Plus généralement: <http://planetmath.org/encyclopedia/SchauderFixedPointTheorem.html>
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