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djib · November 2006

Bonjour

$X=C^0(\R^+,\R^+)$
$\forall f \in X$, on note g(x)=$\sqrt(\int_{0}^{x} f(t)dt)$
On appelle h l'application de X dans X telle que h(f)=g
h est elle surjective?

Je pensais essayer de trouver un réciproque mais.....je n'ai pas aboutit
Merci

bisam · November 2006

Pourtant, c'est simple : pour tout x non nul, f(x)=2g'(x)g(x) (en ayant prouvé que g est dérivable, bien sûr).
Le problème est de savoir si g est dérivable en 0... ou même de savoir si on en a vraiment besoin.

djib · November 2006

Oui j'ai trouvé ca pour f mais peut-on dire qu'elle est surjective directement ?

bisam · November 2006

Est-ce que toutes les fonctions continues sur R+ valent 0 en 0 ?

djib · November 2006

Non ch est continue sur R+ et vaut 1 en 0

Donc en fait, il n'y a pas surjectivité? Expliquez moi le raisonnement svp je ne comprends pas tout
Merci

djib · November 2006

pouvez vous m'expliquer svp?

Guimauve · November 2006

J'ai l'impression que tu as bien compris : quelle que soit la fonction f, son image par h vaut 0 en x=0. Or X contient des fonctions qui ne valent pas 0 en x=0, ce qui montre que h n'est pas surjective.

djib · November 2006

J'aurai une autre petite question

On considère les suites de fonctions $f_n$ avec $n\geq0$ telles que $f_0 \in X$ et $\foralln\geq1$ $f_n=h(f_{n-1})$ c'est a dire $f_n(X) = sqrt(\int_{0}^{x} f_{n-1}(t)dt)$ avec $x\geq0$

On prend $f_0(x)=x$
J'ai montré que la suite de $f_n$ converge simplement sur $\R^+$ vers t(x)=x/2

Et j'arrive pas à montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $\R^+$

Merci

djib · November 2006

Comment fait on svp pour le post ci-dessus? Merci d'avance

Ludovic · November 2006

Pour cette question, tu as du faire un calcul explicite de la suite (je me trompe?); au moins à quelquechose près. Le sup de l'écart entre $f_n$ et sa limite est calculable. Si ce sup ne tend pas vers $0$, alors la convergence n'est pas uniforme.

bisam · November 2006

En fait, $\sup |f_n-t|=+\infty$ pour toute valeur de $n$...
En revanche, on a convergence uniforme sur tout compact.

djib · November 2006

Comment calcule t-on la $||f_n-(x/2)||$ (norme infinie) svp?

Guimauve · November 2006

Montre par récurrence que $f_n(x)=\alpha x$ où $\alpha > \frac{1}{2}$ (bien entendu $\alpha$ dépend de $n$).
La norme infinie est définie par $||f_n - \frac{x}{2}||=\sup \{f_n(x) - \frac{x}{2} \: | \: x \geq 0 \}$. Et $f_n(x)-\frac{x}{2} = (\alpha-\frac{1}{2})x$, qui tend vers $+\infty$ avec $x$. Donc le sup vaut $+\infty$.

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