Fonctions à dérivées bornées
Bonjour,
j'ai une question sur les fonctions bornées :
soit $ f $ une fonction de $ \R $ dans $ \R $ bornée.
s'il existe $ n $ tel que $ f^{(n)} $ soit bornée également, peut-on alors en conclure que $ \forall i \in \N , i < n \Rightarrow f^{(i)} est bornée $ ?
Il me semble (intuitivement) que oui, mais j'aimerais avoir confirmation... et si oui, avoir une idée de la preuve.
Merci.
jo
j'ai une question sur les fonctions bornées :
soit $ f $ une fonction de $ \R $ dans $ \R $ bornée.
s'il existe $ n $ tel que $ f^{(n)} $ soit bornée également, peut-on alors en conclure que $ \forall i \in \N , i < n \Rightarrow f^{(i)} est bornée $ ?
Il me semble (intuitivement) que oui, mais j'aimerais avoir confirmation... et si oui, avoir une idée de la preuve.
Merci.
jo
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Réponses
Posons $P_{x}(u)=\sum\limits_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)\dfrac{u^{k}}{k!}$. La fonction $P_{x}$ est un élément de l'espace vectoriel réel
$E$ des fonctions polynômiales de degré au plus $n$.
Soit $\delta>0$. \'Etant donné un polynôme $Q$, avec
$Q(u)=\sum\limits_{k=0}^{n}c_{k}u^{k}$, on pose
$N_{1}(Q)=\max\limits_{0\le k\le n}|c_{k}|$ et
$N_{2}(Q)=\sup\limits_{0\le u\le\delta}|Q(u)|$. $N_{1}$ et $N_{2}$
sont des normes; elles sont équivalentes car $E$ est de dimension finie. Il existe donc un réel $\lambda>0$ tel que $N_{1}\le\lambda N_{2}$.
On a, pour tout $x\ge a$, avec $M=\|f\|_{\infty}+\|f^{(n+1)}\|_{\infty}\dfrac{\delta^{n+1}}{(n+1)!}$, $N_{2}(P_{x})\le M$ puis $N_{1}(P_{x})\le\lambda M$.
Donc, pour $0\le k\le n$, $|f^{(k)}(x)|\le k!\lambda M$, c'est à dire $\|f^{(k)}\|_{\infty}\le k!\lambda M$
Personellement, j'aime bien ce résultat et cette démo :-)
Peut-on l'interpréter par "il existe $n$ tel que $f^{(n)}$ soit prolongeable par continuité sur $\R$ avec prolongement borné" ? Si oui f=arctan, n=2 me semble être un contre exemple.
Doit-on l'interpréter comme "f est $C^n(\R)$ et $f^{(n)}$ est bornée" ? Si oui il me semble que le résultat est vrai : les $f^{(i)}$ sont bornés sur les compacts car continus, et bornés en $+\infty$ et $-\infty$ par récurrence (sinon $f^{(i-1)}$ ne serait pas bornée).
Perdu! (voir une sinusoide qui oscille de plus en plus vite)
Je vais me pencher sur la démon de cqfd...
Oui c'est vrai
Outil : formule de Taylor
Par ex pour n=2
On note M0 la norme le sup de |f(x)| et M2 celui de |f"(x)|
Pour x fixé et h>0 "variable"
f(x+h) =f(x) +hf'(x)+(h²/2) f"(c)
On en déduit que |f'(x)|<=hM2 +2M0/h
On a ainsi f' bornée et en prenant h "judicieux" ( lequel devine..)
On obtient |f'(x)|<=kV(M0M2)
Et on peut chercher "le meilleur k"
En fait on a M1<=2V(M0M2)) et c'est le mieux qu'on puisse faire..
( indic : raffiner la méthode en utilisant g(h)=f(x+h)-f(x-h) )
Je te laisse faire pour n ..
Oump.
je rectifie ma derniere egalite:
en fait on a M1<= V(2MoM2)
et le "meilleur k" est V2 et non 2..
c'est d'ailleurs un defi que je lance : prouver ce fait
(j'ai une solution ,mais ,qui sait, pas forcément la meilleure !)
pour cqfd : pas forcement me semble t il, je vais regarder, il y a une inegalité reliant les Mk que je n'ai plus en tete et qu'une bonne ame rappellera certainement ..
A+ Oump.
Pour Oump, en utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange entre x et x+h, d'une part, puis entre x-h et x, puis en sommant et en utilisant les inégalités triangulaires, j'arrive à |f'(x)| <= M0/h + hM2/2.
Puis, en cherchant le min sur R+ de cette fonction, on trouve le min en h=racine(2M0/M2).
Puis en reportant cette valeur de h dans l'inégalité trouvée, j'obtiens :
|f'(x)| <= racine(2M0M2)
Mais c'est sûrement lourd comme méthode... il y a sûrement mieux...
Je vais maintenant creuser la démo de CQFD.
A+
il y a juste un passage que je ne comprends pas c'est pourquoi :
$ N_{2}(P_{x}) \le M $
Cette hypothèse peut néanmoins être appauvrie, et l'on peut ne considérer des fonctions $C^2$ (resp. $C^n$) sur des {\bf segments}. Ce sont alors les {\it inégalités de Gorny}, dont la démonstration, effectivement, passe, entre autres, par des développements de Taylor. Voir \lien {
http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:"0022.15404"&format=complete}
Borde.
Cette hypothèse peut néanmoins être appauvrie, et l'on peut ne considérer des fonctions $C^2$ (resp. $C^n$) seulement sur des {\it segments}. Ce sont alors les {\it inégalités de Gorny}, dont la démonstration, effectivement, passe, entre autres, par des développements de Taylor. Voir \lien {\\
http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:\%{}220022.15404\%{}22&format=complete}
Borde (message précédent à supprimer. Merci)
Ces inégalités de Kolmogorov, rappelées par oump et Borde,sont un des développements possibles pour l'oral de l'agreg: K.Madère le propose dans son recueuil, en renvoyant au Gourdon Analyse Exercice 8 p81.
Les fonctions considérées sont de lR dans lR et de classe $C^n$;
si lsup($f^0$)l et lsup($^n$)l sont finies , alors lsup($f^k$l) est fini pour 0
Il suffit d'écrire que $f(x+u)=P_{x}(u)+\dfrac{g_{n}(x,u)}{(n+1)!}$ d'après la formule de Taylor (avec $|g_{n}(x,u)|\le\|f^{n+1}\|_{\infty}\delta^{n+1})$
oui olivier , je me suis contenté du cas n=2 pour simplifier, et c'est aussi valable sur un segment bien sur
(j'ignorais leur appellation!)
par contre , si tu as des sources sur le fait ,par ex ,que avec f D2 sur R bornée et avec f bornée , V2 est la meilleure constante je prends
( car à l'époque j'avais transpiré, éventuelement je donnerai une réponse)
Oump.
Voici a priori les références que j'ai (peut-être est-ce les mêmes que les tiennes) :
1. Les inégalités de Kolmogorov se généralisent aux cas $f \in \mathcal {L}^{r} (\R)$ et $f^{(n)} \in \mathcal {L}^{p} (\R)$. Lorsque $p=r= \infty$ (le cas qui nous occupe ici), on les appelle aussi (paraît-il...) {\it inégalités de Hardy-Landau-Littlewood} (que des noms que tu aimes bien...).
2. Rappelons-les pour ceux qui nous lisent : si $f : [0, + \infty[ \mapsto \R$ a des dérivées d'ordres $k$ bornées, avec $k \in \{0,..., n \}$, et si on note $M_k = \lVert f^{(k)} \rVert_{\infty}$, alors, pour $0 < k < n$, on a : $$M_k \leqslant C_{n,k} M_0^{1-k/n} M_n^{k/n},$$ avec $C_{n,1} \leqslant 2^{n-1}.$ On a $C_{2,1} = \sqrt 2$, $C_{3,1} = (9/8)^{1/3}$, $C_{4,1} = (512/375)^{1/4}$, $C_{4,2} = (36/25)^{1/4}$, la première a été obtenue par Hadamard, et ces valeurs sont les meilleures possibles.
Borde.
<BR>dans le Gourdon,pour 1<=m<=n et 0<=k<=m, le coefficient <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="37" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/3/100673/cv/img1.png" ALT="$ C_{m,k}$"></SPAN>est remplacé par <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="70" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/3/100673/cv/img2.png" ALT="$ 2^{k(m-k)/2}$"></SPAN>.
<BR>Sais-tu où on peut trouver le calcul des majorants optimaux que tu indiques ?
<BR>merci beaucoup.<BR>
Ma source était si je me souviens bien, un exo du Bourbaki (excellent le le signale au passage) "fonctions de la variable réelle" ( que j'ai donné helas..)
Ma question sur le caractère optimal de V2 reste posée ; comment Hadamard s'y est pris ? ( pour ma part j'ai donné un exemple bricolé en raccordant un bout de parabole au sinus etc..tel que le quotient de M1 par
V(M0M2 est aussi proche qu'on veut de V2..cela ferait un bon pb de L1 ou prépa..)
Oump.
<BR>
<BR><B>Hadamard</B>, <I>Sur le module maximum d'une fonction et de ses dérivées</I>, SMF, comptes rendus des séances de l'année 1914.
<BR>
<BR>Tu as aussi, par exemple :
<BR>
<BR><B>Cartan, H</B>, <I>Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d'une fonction</I>, Comptes rendus, T. 208 (1939), page 414.
<BR>
<BR><B>Hardy & Littlewood</B>, <I>Contribution to the arithmetic theory of series</I>, Proc. London Math. Soc. <B>11</B>, (1912).
<BR>
<BR><B>Kolmogorov</B>, <I>Une généralisation de l'inégalité de M.J. Hadamard entre les bornes supérieures des dérivées successives d'une fonction</I>, Comptes Rendus, T. 207 (1938), page 764.
<BR>
<BR>Je regarde si j'ai des renseignements supplémentaires...
<BR>
<BR>Borde.<BR>
{\bf Mandelbrojt, S}, {\it Séries adhérentes, régularisations des suites, applications}, Gauthiers-Villars (1952), 201-271,
dans lequel on trouve la simplification suivante de la constante (page 216) :
Si $f$ est $n$ fois dérivable sur $\R$ avec $M_0 < \infty$ et $M_n < \infty$, alors, pour tout $k \in \{0 ,..., n \}$, on a : $$M_k \leqslant 2 M_0^{1-k/n} M_n^{k/n}.$$
Borde.
J'ai retrouvé la preuve pour C(2,1)=$\sqrt {2}$.
Cheminement :je me suis souvenu que avoir vu ça en prépa agreg Marseille, j'ai relu l'exercice correspondant dans le cours, qui renvoyait au Chambert-Loir, Analyse 2,Exercice 15-8 p39; exo que je n'avais pas fait.
Construction de la fonction f:
1) soit g la fonction 2-périodique qui vaut 1 sur [0,1[ et -1 sur [1,2[.
2)On en choisit une "primitive" périodique :
lxl- 1/2 si -1
Quant à moi, j'ai relu en détail la démonstration que Mandelbrojt propose de l'inégalité de Kolmogorov, qui s'énonce de la manière précise suivante :
Soit $f \in C^n (\R)$, et soit $M_k = \lVert f^{(k)} \rVert_{\infty}$. Alors, si $M_0, M_n < \infty$, on a pour tout entier $k \in \{0, ..., n \}$ : $$M_k \leqslant \left ( \frac {t_{n-k}}{t_n^{1-k/n}} \right ) \times M_0^{1-k/n} M_n^{k/n},$$ où l'on a posé : $$t_j = \frac {4}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty} \frac {(-1)^{m(j+1)}}{(2m+1)^{j+1}},$$ pour tout entier $j \geqslant 0$.
Comme $1 \leqslant t_j \leqslant 2$, on retrouve l'inégalité mise plus haut.
De plus, cette inégalité est la meilleure possible, car il y a égalité avec la fonction $f_n$ définie par : $$f_n(x) = (-1)^{n/2} \frac {4}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty} \frac {\sin (2m+1)x}{(2m+1)^{n+1}},$$ si $n$ est pair, et : $$f_n(x) = (-1)^{(n+1)/2} \frac {4}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty} \frac {\cos (2m+1)x}{(2m+1)^{n+1}},$$ si $n$ est impair.
Borde.
merci aux intervenants pour les précisions apportées
pour n=2 voici ma demo pour montrer que V2 est "the best"
soit a>0 et a<Pi/2
on definit f périodique sur R ainsi:
sur [0 a] : sinx
sur [a c] (c que je vais preciser)
Sina +xCosa -(Sina)x²/2
(on a reconnu le debut de taylor au point a pour le sinus..)
on prend c =Cosa/Sina ( cf sommet de la parabole graphe du trinome précédent)
puis on prend le symetrique du graphe de f sur [0 c] par rapport à x=c
puis le symetrique de ce graphe de 0 à 2Cosa/Sina par rapport à O
et enfin periodicite sur R de periode 4Cosa/sina
pour f ainsi definie ( ça a l'air compliqué , mais faites un dessin , c'est simple)
on a M1/V(M0M2) = V[2/(1+sin²a)]
arbirairement proche de V2 pour a "petit"
c'est gagné..
Oump.
Oump.
Borde.
Il y a un "Lecture Notes in Mathematics" spécialement consacré à ces choses sur le controle des dérivées d'ordre inférieur ou égal à $k$ par rapport à la dérivée $k$-i\`eme recensant les résultats fins récents et inversement.
Je n'ai plus le titre ni le numéro en t\^ete, mais je tacherai de retrouver ça.
bye.
sk.
Oumpapah: pas encore pris le temps d'étudier ta fonction, mais ça ne va pas tarder; merci.
Aleg : je ne possède que le Tome 2 du FGN Analyse; peux-tu me dire si le calcul des coefficients $C_{n,k}$ du message de Borde (03/11/06 10:42) est effectué dans l'exercice? (Attention: pas nécessaire de recopier cet exercice); merci.
J'ai l'impression qu'on est entrain de tordre le cou de ce sujet !
oui, l'exercice fournit les valeurs $C_{n,k}=2^{\frac{k(n-k)}{2}}$.
Plus précisément, voilà la question 2 de l'exo [je cite ] :
Soit $f\in C^n(\R,\C)$ et, pour $k=0,1,\dots,n$, $M_k=\sup_{x\in \R}\,|f^{(k)}(x)|$.
On suppose que $M_0$ et $M_n$ sont finis.
Montrer que pour tout $k=0,1,\dots,$, $M_k$ est fini et que
$$M_k\leq 2^{\frac{k(n-k)}{2}}\,M_0^{1-\frac{k}{n}}\,M_n^{k/n}$$
[fin de citation ]
Pour une idée de la solution, la finitude des $M_k$ est montrée par Taylor-Lagrange et matrice de Vandermonde, et l'inégalité est prouvée par récurrence sur $n$ (étant entendu que pour $n=2$ la proposition a été établie à la première question).
si tu veux plus de détails, fais-le savoir.
<BR>J'ajoute que tu devrais acheter (ou te faire offrir..) le volume d'analyse 1 des FGN, je suis certain qu'il te passionnera.
<BR>Puis, après tout, ça ne fera qu'un volume de plus dans ta bibliothèque qui doit bientôt avoisiner le milliard de livres.. non ??
<BR><a href = "http://www.amazon.fr/Exercices-mathématiques-polytechnique-normales-supérieures/dp/2842250311/sr=8-2/qid=1162668176/ref=sr_1_2/402-6318569-8268967?ie=UTF8&s=books"> http://www.amazon.fr/Exercices-mathématiques-polytechnique-normales-supérieures/dp/... </a>
Le coefficient $2^{k(m-k)/2}$ est le coefficient qui figure aussi dans Gourdon, cf mon message du 03/11/06 à 11h10;
ceux donnés par Borde sont les coefficients majorants optimaux, les vrais de Kolmogorov, qui sont fonction des nombres de Bernoulli , d'après Chambert-Loir.
Maintenant, quand je vois pour le calcul de $C_{2,1}$, les fonctions compliquées que proposent Chambert-Loir et Oumpapah , j'imagine ce que doivent être celles correspondant aux autres coefficients.
Sinon,ma bibliothèque , c'est plutôt , autour de 270 livres niveau >= math sup, sans compter les livres niveau