analyse spectrale

Salut Pilz !

Pour la première question, mon expérience de physicien me pousse à passer en Fourier. Cela simplifie le calcul car l'opérateur impulsion P est diagonal dans la base des $|k>$... Je ne résiste pas à écrire des bras et des kets :
$$e^{itP}|f>=\int \frac{dk}{2\pi} e^{itP}|k> = \int \frac{dk}{2\pi} e^{itk}|k> = \lambda_t |f>$$

Enfin c'est juste une idée. Un physicien dirait que le travail est fini, ce n'est peut-être pas le cas d'un matheux...

Sinon comment vas-tu ? Ton M2 se passe bien ? Tu suis des modules d'analyse aussi ?

Seb

salut Pilz

$dx \wedge dy$ est le produit extérieur des formes linéaires $dx$ et $dy$. c'est une forme bilinéaire alternée. on peut généraliser le procédé et ainsi construire des n-formes $dx_1 \wedge \hdots \wedge dx_n$. tu peux commencer à aller voir dans le Lang le chapitre sur le produit tensoriel (même si l'unicité du produit tensoriel comme élément universel de catégorie est relativement peu convaincante pour un être humain normalement constitué )

si $\Lambda^k(E)$ est l'ensemble des formes $k$-linéaires alternées sur E de dimension $n$ et $M$ est une variété de dimension $n$, une $k$-forme différentielle est juste une application
$$\omega : \begin{array}[t]{rcl}
M & \rightarrow & \displaystyle \sqcup_{x \in M} \Lambda^k(T_x M)\\
x & \mapsto & \omega_x \in \Lambda^k(T_x M)\end{array}$$
qui est de plus $\mathcal{C}^\infty$, c'est-à-dire que dans des cartes au voisinage de tout point, $\omega$ peut s'écrire de manière unique somme de $\alpha_{i_1,\hdots,i_k}(x) dx_{i_1} \wedge \hdots dx_{i_k}$ avec $\alpha_{i_1,\hdots,i_k}$ $\mathcal{C}^\infty$ sur $M$.

après, on peut définir la différentielle extérieure d'une forme différentielle, qui permet de passer des $k$-formes aux $k+1$-formes. le premier objectif de tout ça est d'obtenir la cohomologie de de Rham qui permet de mesurer à quelle point les $k$-formes fermées ne sont pas exactes.