Suites et séries

novice · November 2006

Bonjour, je suis en train de revoir tout ce qui concerne Suites, séries, et enfin suites et séries de fonctions. Cependant, tout ça est un peu flou pour moi, c'est pour cela que j'aimerai que quelqu'un m'assure que le petit récapitulatif que je m'en fais est le bon (je suis assez pénible, je vous crois...) :

SUITES:
convergence : on fait tendre n vers infini, il faut que l soit alors finie

SERIES :
convergence, convergence absolue ou semi convergence.
Pour les deux premiers, on se sert de critères en tout genre, (absolue en étudiant la val abs du terme général)
La suite étant semi-convergente si elle converge mais pas absolument.

SUITES DE FONCTIONS :
peut converger simplement, uniformément
simplement : on regarde la limite quand n tend vers infini, tout en fixant x
uniformément : on regarde si sup abs(fn-f) tend vers 0 en infini
(y a-t-il dautres moyens pour uniformément ??? )

SERIES DE FONCTIONS :
peut converger simplement, uniformément, normalement
simplement : on utilise des critères ou règles
uniformément : ??? (je ne sais pas)
normalement : on majore la val abs du terme général par le terme général d'une série convergente.
POUR MONTRER la convergence uniforme, suis je obligée de passer par la normale en pratique ???

Voilà ce que j'ai compris et pas compris. Merci de me dire si je suis dans le vrai, et de répondre à mes questions pour ces satanées convergences uniformes...

bisam · November 2006

Pour les séries de fonctions, la convergence uniforme signifie la même chose que pour les suites de fonctions, il faut juste remplacer |fn-f| par |Rn|=|S_Sn| où Sn est la somme partielle et Rn le reste.
Pour la convergence normale, il s'agit de calculer (ou éventuellement de majorer, si on est sûr que ça converge) la norme (1, 2 ou oo suivant le cas) de chaque fonction Un dans la somme et de vérifier si la série (numérique) des normes converge.

novice · November 2006

Excusez moi, je ne maitrise pas trop tout ça encore, et je trouve cette réponse assez théorique. N'y a-t-il pas pour la convergence uniforme des moyens pratiques plus simples à utiliser ?

bisam · November 2006

Si, il y en a, mais au cas par cas. Par exemple, on sait majorer le reste d'une série alternée...

Je pense que le meilleur moyen pour savoir si tu as bien compris serait que tu donnes un exercice que tu as cherché... et qu'on t'indique si c'est correct.

novice · November 2006

ok, j'en ai déjà pas mal refait de deug; Mais dès que je m'y repenche, je vous fais signe. Merci en tout cas.

majdi · November 2006

Pour la convergence uniforme on peut utiliser le critère de Cauchy pour les suites ou les séries (voir un cours de Deug de base); ce critère est équivalent à la convergence uniforme (donc à la limite que tu as indiquée). Le plus souvent on teste la convergence normale (mais ce n'est pas un critère, la série peut ne pas converger normalement mais converger uniformément).+

novice · November 2006

pouvez me donner un exemple de série convergeant uniformément mais pas normalement? merci

egoroff · November 2006

Oui, prends la suite de fonctions constantes $u_n=(-1)^n$.

majdi · November 2006

egoroff je pense que tu as voulu dire: $\displaystyle \frac{(-1)^n}{n}$
Cet exemple est issue d'un autre critère de convergence uniforme qui est spécifique aux séries alternées.

Soit $u_n: E \rightarrow \R$, avec $E$ un ensemble.

Si $(u_n(x))_n$ est décroissante convergeant uniformément vers la fonction nulle alors la série $\sum (-1)^nu_n$ converge uniformément.

Il y a un exemple un peu tordu dans le Zuily Queffélec - qui n'utilise pas de séries alternées- dans le chapitre sur les séries entières.

Tu pourras trouver d'autres critères comme ceux d'Abel qui sont conséquences du critère de Cauchy uniforme.+

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