Théorème de Bishop Phelps

Voila je suis en plein milieu d'un sujet de maths qui parle du theoreme de bishop phelps et je bloque a un endroit ! E un R-ev , E' désigne l'ensemble des formes linéaires continues de E et Ns la norme subordonnée !
On prend Y =E*$\R$ et on définit Y' de manière analogue a E'
On a une fonction
$\phi : E'*\R \longrightarrow Y'$
tq $\forall (x,t) dans E*\R,
\phi(\gamma,\alpha)(x,t)=\gamma(x)+\alpha*t
$
J'ai alors montré que $\phi$ était un isomorphisme, que sa norme subordonnée dans Y
était le max de la Ns( $\gamma$ ) et de |$\alpha$|


Ensuite on prend une partie C convexe fermée non vide de E ,f dans E' et $\epsilon >0$.
On utilise le théorème d'Ekeland pour montrer qu'il y a un $x_0$ dans C tel que $\forall x \in C , f(x) \geq f(x_0)-\epsilon*||x-x_0||$
On prend alors
C1=$((x,t) \in E*\R ; t \leq f(x_0)-\epsilon*||x-x_0||)$
et C2 =$((x,t) \in C*\R ; t \geq f(x)) $


J'ai alors réussi a montrer l'existence de $(h,\alpha) tel que \phi(h,\alpha)$ sépare l'intérieur de C1 et C2 .
($\phi(h,\alpha)$ non nulle et
$sup(\phi(h,\alpha)(x,t)/(x,t) \in C1) \leq inf(\phi(h,\alpha) (x,t)/(x,t) \in C2) $)


J'ai montré que cette fonction séparait aussi C1 et C2 , que $\alpha \neq 0$ et donc qu'il existait g dans E' tel que
$\phi(g,1)$ sépare C1 et C2

On en arrive alors a mon probleme car la il est demandé de prouver que
$Ns(g) \leq \epsilon$ dans E'.
et que f+g atteint son minimum sur C en x0

C'est la que je bloque j'ai fait plusieurs tentaives pour essayer de majorer la norme de g mais infructueuses ! De plus j'ai aussi du mal a démontrer la deuxieme partie de la question !

Ceci permet ensuite de conclure que l'ensemble de formes linéaires continues qui atteignent leur (maximum/minimum) sur C et dense dans E'
Merci d'avance pour vos contributions !

Si les mathématiques ne sont pas a la base de tout, elles sont a la base de tout ce qui pourrait etre a la base de tout