Une récurrence

Matthiouz · November 2006

Bonjour mes amis les S... j'ai un p'tit problème sur ma récurrence de DM là. Elle est trop trash... J'vous passe les détails voila ce que je dois montrer par récurrence

n!$\leq$en($\frac{n}{e}$)^n

Mon problème ben c'est jsute de réussir à arriver sur

e(n+1)($\frac{n+1}{e}$)^(n+1)

j'dois dire que je cris avoir effectuer le 9 dixième des opérations mathématiques existentes et ben j'trouve pô... donc voila merci
Tchou

Eric · November 2006

On suppose la relation vraie à l'ordre $n$.
On a alors
\begin{align*}
(n+1)!&\leq e^{2}(n+1)\frac{n}{e}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\\
&\leq e(n+1)\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}
\end{align*}
car $en^{n+1}\leq(n+1)^{n+1}$ pour $n+1\geq e$ (en fait, pour $n\geq1$).

Il reste à initialiser la récurrence, j'espère que tu y arriveras ...

Matthiouz ES et fier de letre · November 2006

Merci bien pour tout ca j'intrevois dja mieux la réponse... je saisis simplement pas comment a disparu le $e^2$ et comment le $n$ de la fraction est devenu $(n+1)$

Matthiouz ES et fier de letre · November 2006

Merci bien pour tout ca j'intrevois dja mieux la réponse... je saisis simplement pas comment a disparu le $e^2$ et comment le $n$ de la fraction est devenu $(n+1)$

Une récurrence

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