Une récurrence
Bonjour mes amis les S... j'ai un p'tit problème sur ma récurrence de DM là. Elle est trop trash... J'vous passe les détails voila ce que je dois montrer par récurrence
n!$\leq$en($\frac{n}{e}$)^n
Mon problème ben c'est jsute de réussir à arriver sur
e(n+1)($\frac{n+1}{e}$)^(n+1)
j'dois dire que je cris avoir effectuer le 9 dixième des opérations mathématiques existentes et ben j'trouve pô... donc voila merci
Tchou
n!$\leq$en($\frac{n}{e}$)^n
Mon problème ben c'est jsute de réussir à arriver sur
e(n+1)($\frac{n+1}{e}$)^(n+1)
j'dois dire que je cris avoir effectuer le 9 dixième des opérations mathématiques existentes et ben j'trouve pô... donc voila merci
Tchou
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Réponses
On a alors
\begin{align*}
(n+1)!&\leq e^{2}(n+1)\frac{n}{e}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\\
&\leq e(n+1)\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}
\end{align*}
car $en^{n+1}\leq(n+1)^{n+1}$ pour $n+1\geq e$ (en fait, pour $n\geq1$).
Il reste à initialiser la récurrence, j'espère que tu y arriveras ...