Limite de suite
Bonjour,
J'ai montré que les suites suivantes, $A_n$ et $B_n$, convergaient. Je désire à présent montrer que $\lim A_n = lim B_n$, mais je n'y parviens pas.
$A_n= \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... - x_{2n-1} + x_{2n}$
$B_n= \sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... + x_{2n} - x_{2n+1}$
Je sais également que la suite $x_n$ converge vers $0$.
Comment feriez-vous?
Merci d'avance.
J'ai montré que les suites suivantes, $A_n$ et $B_n$, convergaient. Je désire à présent montrer que $\lim A_n = lim B_n$, mais je n'y parviens pas.
$A_n= \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... - x_{2n-1} + x_{2n}$
$B_n= \sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... + x_{2n} - x_{2n+1}$
Je sais également que la suite $x_n$ converge vers $0$.
Comment feriez-vous?
Merci d'avance.
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Réponses
B(n)-A(n)=-x(2n+1) si tu passes à la limite pour n infini :
lim[B(n)-A(n)]=-limx(2n+1)=0
il faut supposer x(n) suite monotone à terme positif convergeant vers 0 à droite
les deux suites A(n) et B(n) sont adjacentes (même limite) et convergentes
exemple pour x(n)=1/n alors la limite commune est ln2
cordialement
Là tu as An-Bn=x_(2n+1)
Tu sais que An, Bn et x_n convergent donc en faisant tendre n vers l'infini, tu obtiens une égalité sur les limites, ici lim(An) - lin(Bn) = 0.
Si (un) et (vn) convergent alors (a.un+b.vn) converge et lim(a.un+b.vn) = a.lim(un)+b.lim(vn) ?
[Ajouté le "Si" conformément à ton indication. AD]
Tu sais que $A_n$ et $B_n$ convergent, donc {\bf{par théorème}},
$$
\lim (A_n - B_n)= \lim A_n - \lim B_n
$$
C'est tout.