Limite de suite
Bonjour,
J'ai montré que les suites suivantes, $A_n$ et $B_n$, convergaient. Je désire à présent montrer que $\lim A_n = lim B_n$, mais je n'y parviens pas.
$A_n= \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... - x_{2n-1} + x_{2n}$
$B_n= \sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... + x_{2n} - x_{2n+1}$
Je sais également que la suite $x_n$ converge vers $0$.
Comment feriez-vous?
Merci d'avance.
J'ai montré que les suites suivantes, $A_n$ et $B_n$, convergaient. Je désire à présent montrer que $\lim A_n = lim B_n$, mais je n'y parviens pas.
$A_n= \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... - x_{2n-1} + x_{2n}$
$B_n= \sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k x_k = x_0 - x_1 + ... + x_{2n} - x_{2n+1}$
Je sais également que la suite $x_n$ converge vers $0$.
Comment feriez-vous?
Merci d'avance.
Réponses
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Etudie la difference An-Bn et passe à la limite.
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bonjour
B(n)-A(n)=-x(2n+1) si tu passes à la limite pour n infini :
lim[B(n)-A(n)]=-limx(2n+1)=0
il faut supposer x(n) suite monotone à terme positif convergeant vers 0 à droite
les deux suites A(n) et B(n) sont adjacentes (même limite) et convergentes
exemple pour x(n)=1/n alors la limite commune est ln2
cordialement -
Que signifie { \it passer à la limite } exactement? Par exemple, si on a (au hasard) $A_n - B_n = 0$, que cela signifie-t-il de passer à la limite? Petit oubli ...
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Eh bien tu fais tendre n vers l'infini dans les deux termes de l'égalité
Là tu as An-Bn=x_(2n+1)
Tu sais que An, Bn et x_n convergent donc en faisant tendre n vers l'infini, tu obtiens une égalité sur les limites, ici lim(An) - lin(Bn) = 0. -
Est-il possible de répondre à la question sans utiliser les suites adjacentes? En effet, on ne les a pas encore abordées, et je ne suis pas censé les utiliser..
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La différence ne tend-elle pas vers $x_1$?
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J'ai $\lim (A_n - B_n)=0$ Comment puis-je déduire de là que $\lim \, A_n - \lim \, B_n = 0$?
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Vous avez dit dans votre premier message que An et Bn convergent. je ne vois pas où est le problème pour lim (An-Bn).
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Je n'ai pas de problème pour $\lim \, (A_n - B_n)$, seulement il faut que j'arrive à $\lim \, A_n = \lim \, B_n$, donc il me faudrait $\lim A_n - \lim \, B_n =0$, et moi j'ai $\lim \, (A_n - B_n)=0$. Pourquoi (comment?) peut-on passer de l'un à l'autre?
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Ne sais-tu pas que :
Si (un) et (vn) convergent alors (a.un+b.vn) converge et lim(a.un+b.vn) = a.lim(un)+b.lim(vn) ?
[Ajouté le "Si" conformément à ton indication. AD] -
Je sais déjà que $A_n$ et $B_$ convergent...!
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Il manque un "si" dans ce que j'ai dit... "si (un) et (vn) convergent, alors..."
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Je pense que Jimme lit un peu vite les messages qu'on lui envoie...
Tu sais que $A_n$ et $B_n$ convergent, donc {\bf{par théorème}},
$$
\lim (A_n - B_n)= \lim A_n - \lim B_n
$$
C'est tout. -
Prouvons-le! :-)
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