approximation de f et f'

Sans être explicite, tu sais qu'il existe une suite de polynômes $Q_n$ convergeant uniformément vers $f'$ puisque cette dernière est continue. Tu définis $P_n(x)=f(0)+\int_0^x Q_n(x) \, dx$. $P_n$ est polynômiale et la suite $(P_n)$ converge uniformément vers $f$ en vertu d'un théorème que tu dois avoir dans ton cours. Il est intéressant de voir qu'on s'occupe d'abord de la dérivée, ça illustre bien le fait que la convergence uniforme se comporte bien lors d'une intégration mais mal lors d'une dérivation. De manière plus abstraite, pour la norme infinie, l'intégration est continue mais pas la dérivation.

Mieux (ou pas), si une suite de polynômes $(P_n)$ est telle que $(P'_n)$ converge uniformément vers $f'$ et $P_n(x_0)$ converge vers $f(x_0)$ avec $x_0 \in [a,b]$ alors la suite $(P_n)$ convient.

Au bûcher :-)

Va pour la phalange alors !

La réponse est oui.

Soit $\epsilon_n$ une suite de nombre positif qui décroit vers $0$.
Construit une suite $P_n$ tel que $\|f^{(j)}-P_n^(j)\| \leq \epsilon_n$ si 0 \leq j \leq n$ et tu as gagné.

La convolution, ça marche aussi, non ?

Si on réussit à trouver une unité approchée $(K_n)$ polynomiale (ie $K_n$ est un polynôme pour tout$n$ ) sur $[ -1, 1] $ c'est gagné (quitte à faire un changement de variable affine ensuite). En effet, on a alors $K_n * f$ polynomiale et
$ || K_n * f - f || \longrightarrow 0$ mais aussi (f continue)
$ || \frac{d^m}{dx^m}(K_n * f) - \frac{d^m}{dx^m}f || = ||K_n * ( \frac{d^m}{dx^m} f ) - \frac{d^m}{dx^m}f || \longrightarrow 0 $ pour tout $m$
($ \frac{d^m}{dx^m}(K_n * f) = K_n * ( \frac{d^m}{dx^m} f )$ d'après les théorèmes de dérivation )
Il reste plus qu'à construire $K_n$ hum ...
bon $P_n = \alpha_n (1-X^2)^n$ ($\alpha_n$ de sorte à ce que l'intégrale vale 1) marche, non ? j'ai la flemme de refaire le calcul, personne a son cours sur la convolution ?