théorème des résidus

romanticide · November 2006

bonsoir

je dois trouver l'intégrale de ln'x)/(x^2+a) de 0à l'infini pour a >0
en utilisant le théo des résidus

je dois utilisé une branche univalente de 0 à l'infini avec un petit cercle de rayon E (petit) et un cercle de rayon R (avec R tend vers l'infini donc très grand) en fait mon intégrale est partager en 4

I1 de E à R (sur la branche sur la partie supérieure )
I2 de R à E (on a fait un tour on est sous la branche )

Ir on parcourt le grand cercle
Ie on parcourt le cercle de rayon E (petit cercle)

on a Ir et Ie nuls
mon problème est de trouver la relation entre I1 et I2 je pense qu'il y a un rapport de genre exp(2iPi) mais je n'y arrive pas

j'ai biensûr les pôles qui sont ia et -ia

les résidus correspondants : en ia (lna + Pi/2)/2ia
en -ia (lna - Pi/2)/-2ia

j'ai donc I1= l'intégrale de lnz/(z^2+a) dz de EàR
et pour I2 je pense qu'il faut prendre l'intégrale ln(z*exp(2iPi)/(z*exp(2ipi)^2+a) deRàE et retrouver I1 avec une constante devant (constante * I1)

merci pour votre aide

JJ · November 2006

Bonjour,

je n'ai pas le temps de vous faire une démo. soignée car je suis sur le point de partir (inutile d'assayer de me joindre avant une dizaine de jours).
Seulement quelques indications à la suite d'un petit calcul de coin de table qu'il serait prudent de vérifier...
- Je pense que c'est (x²+a²) au lieu de (x²+a) dans votre intégrale de départ car vous dites que les poles sont ia et -ia (si non, ce serait i*racine(a) et -i*racine(a)). J'ai supposé cette correction faite pour la suite.
- Ne pas oublier de multiplier par 2iPi les résidus pour trouver les intégrales de contour autour de chacun des poles.
- ln(z*exp(2iPi) = ln(z)+2iPi dans l'intégrale que vous considérez à juste titre (dernière ligne de votre post).
ce qui donne la relation entre I1 et I2 avec 2iPi*Intégrale de 1/(x²+a²) de 0 à infiuni = i(Pi²)/2
- les parties imaginaires disparaissent dans la somme de toutes les intégrales.
Finalement, j'ai obtenu :
Intégrale de ln(x)/(x^2+a^2) de 0 à l'infini = (Pi/(2a))*ln(a)
à vérifier...

bs1 · November 2006

Juste pour confirmer qu'évidemment le résultat de JJ est juste ( avec a>0).
Il s'agit d'un calcul de résidu de cinquième type dans la classification de Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques.

jean lismonde · November 2006

bonjour

je confirme le résultat de JJ en supposant la correction faite (a² à la place de a)

un calcul direct sans les résidus est rapide: on part du résultat classique:

intégrale sur R+ de lnt.dt/(1+t²)=0
en effet les aires de chaque côté du point (1;0) sont de mesure opposée

dans ton intégrale tu poses x=au avec a et u positives et donc il vient:

(1/a)intégrale sur R+ de ln(ua).du/(1+u²) soit:

(lna)/a multiplié par intégrale sur R+ de du/(1+u²) soit pi.lna/2a

cordialement

romanticide · November 2006

j'ai vérifier c'est bien a et pas a^2
en fait j'ai oublié les racines dans les poles

j'ai une relation I2= I1+ iPi^2/racine (2)

mes résidus sont ln( racine a)+iPi / 2i (racine a )
ln( racine a)- iPi / -2i (racine a )

du coup quand je fait I1 +I2 = 2iPi ( somme des 2 résidus) j'ai pas du tout le même résultat il n'y a plus de ln

désolé pour mes oublis de racine
merci pour vos réponses

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