Nombres parfaits
Ma question est très loin d'être concrète.
Avec la théorie analytique, on prouve des résultats splendides sur les nombres premiers. Des séries en relation avec les paritions de n (nombre de façons d'obtenir n en sommant des nombres inférieurs à n) se transforment en produits infinis très pariculiers.
Mais c'est les seules applications de l'analyse en arithmétique.
Et les nombres parfaits ? On ne sait toujours pas s'il en existe une infinité et s'il en existe des impairs. Ils sont pourtant étroitement liés aux nombres premiers.
Peut-on obtenir des résultats là dessus par des moyens analytiques ? Des recherches sont-elles entreprises dans cette voie là ?
Avec la théorie analytique, on prouve des résultats splendides sur les nombres premiers. Des séries en relation avec les paritions de n (nombre de façons d'obtenir n en sommant des nombres inférieurs à n) se transforment en produits infinis très pariculiers.
Mais c'est les seules applications de l'analyse en arithmétique.
Et les nombres parfaits ? On ne sait toujours pas s'il en existe une infinité et s'il en existe des impairs. Ils sont pourtant étroitement liés aux nombres premiers.
Peut-on obtenir des résultats là dessus par des moyens analytiques ? Des recherches sont-elles entreprises dans cette voie là ?
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Réponses
Par exemple, si $V(x)$ désigne le nombre de nombres parfaits $\leqslant x$, alors on sait depuis 1959 (Wirsing) que : $$V(x) \leqslant \exp \left \{ \frac {c \ln x}{\ln \ln x} \right \},$$ pour $x \geqslant x_0$.
En 1948, Ore a considéré la moyenne harmonique des diviseurs d'un entier $n$, définie par $$h(n) = \frac {n \tau(n)}{\sigma(n)}$$ (notations usuelles). En utilisant les résultats d'Euler, on voit que si $n$ est parfait (pair ou impair), alors $h(n)$ est entier. D'où la {\bf conjecture d'Ore} : {\it si $n$ est impair, alors $h(n)$ n'est pas entier}.
Si quelqu'un démontre cette conjecture, alors il aura prouvé qu'il n'existe pas d'entier parfait impair.
Borde.
Mais tu dis "notations usuelles"... et je ne connais pas ces notations...
Si ca interesse qqun:
Petit resultat amusant:
Soit i le plus grand diviseur de n.
Si $i\leq\sqrt(n)$
Alors n n'est pas parfait.
Si l'on pouvait reduire le majorant a n/3 ..... Il n'y aurait pas de nombres parfaits impairs...
PS: J'ai vu que qqun a corrige les accents sur mon premier message. Je l'en remercie beaucoup et tiens a dire que ce n'est pas de la negligence mais c'est le fait que mon clavier est un QWERTY et qu'il n'a pas d'accents.
Borde.
Sylvain tu es sur qu'en démontrant x² n'est pas un nombre parfait, alors il n'existe pas de parfait impair ? Car je ne vois pas très bien le lien.
Pour les parfaits pairs, ils sont clairement liés aux nombres de Mersenne Mn ;
s'il existe une infinité de Mn, alors il existe une infinité de parfaits pairs. ce qui est fortement probable.
Mais on ne connais même pas la forme que pourrait avoir un parfait impair..
Si ce n'est que la somme de ces diviseurs hormis 1, est pair.
Supposons qu'il en existe un, la somme de ces diviseurs sans 1, est égale au nombre pair qui le précède, comment peut-on avoir un nombre impair de diviseurs ils sont par couple...?
6 = 2 et 3 + 1 soit un couple ?
28 = 2.14; 4.7 +1 deux couples ?