Continuité et compact
Bonsoir à tous,
Soit f : (E,d) --> (F,d') une application dont la restriction à tout compact A de E est continue.
J'aimerais montrer qu'elle est en fait continue sur E tout entier.
Puisqu'elle est continue sur les compacts de E, elle y est uniformément continue mais je n'arrive pas à conclure. (Sur les singletons c'est évident mais ca ne représente pas tous les compacts d'où mon souci).
Qui pourrait me donner une indication svp ?
Soit f : (E,d) --> (F,d') une application dont la restriction à tout compact A de E est continue.
J'aimerais montrer qu'elle est en fait continue sur E tout entier.
Puisqu'elle est continue sur les compacts de E, elle y est uniformément continue mais je n'arrive pas à conclure. (Sur les singletons c'est évident mais ca ne représente pas tous les compacts d'où mon souci).
Qui pourrait me donner une indication svp ?
Réponses
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C'est moi, ou il n'y a rien à montrer ??
La continuité est une notion locale, pas globale... donc puisque c'est continu sur tous les singletons, c'est continu sur E. -
Certes bisam je suis tout à fait d'accord avec toi mais je me demandais comment se dépatouiller dans l'hypothèse où il existe un recouvrement fini de E par des compacts qui ne soient pas des singletons.
Du moins, ai-je raison de me poser cette question ?
J'ai l'impression que même si on dit que f est continue sur tous les singletons {x} donc continue pour tout x de E, ça ne suffit pas.
Si je me suis mal exprimé... n'hésitez pas à me demander de m'éclaircir. -
Euh bisam ?? Toute fonction est continue sur un singleton (être continu sur un singleton n'est pas la même chose que d'être continue en tout point).
Dans un espace dont les ouverts ne sont pas inclus dans un compact (par exemple, un evn de dimension infinie) le résultat ne me semble pas si évident que ça..mais mes souvenirs de topologie sont lointains. -
J'aurais du me relire : lire "Toute fonction est continue sur tout singleton (être continue sur un singleton n'est pas la même chose que d'être continue en un point)".
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Exactement GLaG merci de ton intervention en effet je n'arrivais pas à exprimer le fait que ca ne marche pas tout le temps et l'infinie dimension d'un evn nous en donne un exemple.
Comment le montrer facilement alors?
Une idée svp? -
Aurais-tu un exemple d'une fonction continue sur un singleton et pas en ce point?
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E n'étant pas métrique, {x} n'est pas un voisinage de x. On ne s'en tirera pas si facilement !
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Dsl je croyais c'était évident mais lorsque j'écris (E,d) ou (F,d') j'entends par là que ce sont des espaces métriques munis respectivement des distances d et d'.
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Pourquoi E ne serait pas métrique ? L'énoncé commence par donner f de source (E,d).
Je me lance mais il y a sûrement une énormité là-dedans : on prend une suite $(x_n)$ qui tend vers $x$.
Alors l'ensemble $X=\{x_n, n \in \N\} \cup \{x\}$ est un compact (utiliser Borel-Lebesgue), donc, $f$ étant continue sur $X$, $f(x_n) \rightarrow f(x)$,
ce qui prouve la continuité séquentielle de $f$ qui est équivalente, pour un espace métrique, à la continuité. -
J'avais fait ça CLaG hier soir et j'avais oublié entre temps donc merci de me le rappeler et attendons de voir si quelqu'un peut confirmer cette démo.
A priori,il n'ya pas de problème car on prend une suite convergente quelconque et on montre la séquentielle continuité sur un métrique. -
Mk1844 : pour ta question demandant un exemple, toute fonction discontinue convient !
Essaie d'écrire la définition epsilonesque de la continuité de $f$ sur $X$ : on a $f(x)-f(y)=0$ pour tous $x,y \in X$, si $X$ est un singleton, donc a fortiori $|f(x)-f(y)|0$.. -
Désolé je suis complètement à l'ouest. D'ailleurs les deux parties de ma phrase n'avaient rien à voir l'une et l'autre.
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ok merci les amis GLaG,apparement notre petite démo tient la route.Je ne vois pas à redire...à moins que... lol
Merci encore. -
Salut,
Je suis d'accord pour la démo. A noter que ça ne marche pas dans un espace topologique quelconque, sauf s'il est localement compact. -
Localement compact suffit alors,c'est interessant de voir ça.Je vais essayer d'y revenir (là je fais une autre démo ).
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egoroff je peux te demander de preciser ta pensée stp car je ne suis pas très à l'aise avec les espaces localement compacts.
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Cela signifie que tout point admet un voisinage compact, et alors l'énoncé devient effectivement évident.
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Effectivement
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Ok, je me disais bien qu'il y avait une subtilté que j'avais ratée...
Il faut dire que je ne travaille presque qu'avec des fonctions définies sur R... -
Même pour les fonctions réelles, avoir une restriction à chaque singleton continue ne prouve rien sur la continuité de la fonction : sinon toutes les fonctions seraient continues.
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Oui, pour les singletons, je m'en suis rendu compte... mais avec tous les compacts, ça ne pose plus de problème, puisque toute boule ouverte peut être incluse dans un compact.
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La réponse est oui. La preuve repose sur les deux points suivants :
- sur les espaces métriques, la caractèrisation séquentielle de la continuité fonctionne.
- l'image d'une suite convergente est un compact.
A vous de jouer.
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