Fonction analytique

1/z = 1/(z-1/2 +1/2) = 1/(z-1/4 + 1/4) donc si u = z-1/2:
1/z = 1/(u + 1/2) = (1/2)(1/(1 + 2u) = (1/2) somme(n=0; infini, (-2u)^n)
et faites de même avec v = z - 1/4; les deux séries convergent par exemple en z = 1/3.
Evidemment ceci est possible pour toute fonction DSE à l'interieur du disque (intervalle) de convergence.

Pas de contradiction à l'horizon. Si un développement en séire entière au voisinage de $x_0$ est de la forme $\sum a_n (x-x_0)^n$, les $a_n$ étant uniques, un développement au voisinage de $x_1$ est de la forme $\sum b_n (x-x_1)^n$, ce n'est pas la même forme que précédemment, donc pas de contradiction avec l'unicité, les $b_n$ n'ont aucune raison d'être égaux aux $a_n$. Si un point $x_2$ est à la fois dans la zone (intervalle ou disque) de convergence de $x_0$ et de $x_1$, on a l'égalité $\sum a_n (x_2-x_0)^n=\sum b_n (x_2-x_1)^n$, aucun problème.


Le message de Gilles explique qu'en utilisant cette égalité, on peut même trouver les $b_n$ en fonction des $a_n$ si $x_1$ est un point de la zone de convergence de $x_0$. Tu peux vérifier qu'effectivement, pour le point $x_2=1/3$, où n'importe quel point $x_2$ de $]0,1[$ (pourquoi cet intervalle d'ailleurs ?) les sommes des deux séries correspondant à $x_0=0$ et $x_1=1/2$ sont égales.

Oui c'est ça ! Les coefficients et les zones de convergences sont exactes. On vérifie que les deux développements donnent bien la même valeur pour un élément de l'intersection des domaines de convergences, par exemple pour $z=1/3$.